En una determinada secuencia

Question

Dejemos que $\{y_n\}$ sea una secuencia definida por $y_n=x_n-\ln n$ , donde $\{x_n\}$ se define por $x_1=1 ; x_{n+1}=x_n + e^{-x_n} , \forall n\in \mathbb N$ . Entonces es $\{y_n\}$ ¿acotado? Es $\{y_n\}$ ¿convergente? Sé que $\{x_n\}$ es estrictamente creciente e ilimitada; pero no puedo decir nada sobre $\{y_n\}$ . Gracias de antemano

Answer 1

Es evidente que la secuencia creciente $x_n \to +\infty$ Poner $z_n=\exp(x_n)$ , $z_n\to +\infty$ también. Tenemos que $\frac{z_{n+1}-z_n}{z_n}=\exp(1/z_n)-1\sim \frac{1}{z_n}$ Esto demuestra que $u_n=z_{n+1}-z_n\to 1$ . Utilizando el teorema de Cesaro, obtenemos que $\frac{u_1+\cdots+u_n}{n} \to 1$ Por lo tanto $z_n/n\to 1$ y $\log z_n-\log n=x_n-\log n\to 0$ .

Answer 2

Por simple cálculo, se puede observar que $y_i$ es decreciente para un número pequeño de $i$ s y es probable que converja a $0$ .

Sí, es cierto, $$\begin{align}y_{n+1}&=x_{n+1}-\ln{n+1}\\&=x_n+e^{-x_n}-\ln{n}-\ln\left({1+\frac{1}{n}}\right)\\&=y_n+e^{-y_n-\ln n}-\ln\left({1+\frac{1}{n}}\right)\\&=y_n+\frac{e^{-y_n}}{n}-\ln\left({1+\frac{1}{n}}\right)\end{align}$$ y podemos derivar algunas propiedades de esto.

1. $y_n>\frac{1}{n}$ .

Lo demostramos por inducción matemática. $y_1=1$ y supongamos que $y_k>\frac{1}{k}$ . Entonces, como $x+\frac{e^{-x}}{n}$ es creciente para los valores positivos de $x$ , $$y_{k+1}=y_k+\frac{e^{-y_k}}{k}-\ln\left(1+\frac{1}{k}\right)\ge\frac{1}{k}+\frac{e^{-1/k}}{k}-\ln\left(1+\frac{1}{k}\right)>\frac{2}{k}-\ln\left(1+\frac{1}{k}\right)>\frac{1}{k+1}$$ donde la última desigualdad proviene de la expansión de Taylor de $\ln(1+x)$ .

2. $y_n<\frac{\ln n}{n}$ si $n\ge10$ .

También lo demostramos por inducción matemática. $$y_{k+1}=y_k+\frac{e^{-y_k}}{k}-\ln\left(1+\frac{1}{k}\right)\le\frac{\ln k}{k}+\frac{e^{-\ln k/k}}{k}-\ln\left(1+\frac{1}{k}\right)<\frac{\ln (k+1)}{k+1}$$

Por 1 y 2, podemos concluir que $y$ converge a $0$ .

Además, se puede comprobar manualmente que $y_2<y_1$ y para $k>1$ , $$y_{k+1}-y_k=\frac{e^{-y_k}}{k}-\ln\left(1+\frac{1}{k}\right)\le\frac{e^{-\ln k/k}}{k}-\ln\left(1+\frac{1}{k}\right)<0$$ así que $y$ es estrictamente decreciente.