Demostrar que $\dfrac{0.5x^2 + x + 1}{x^2 + x + 1}$ es una función estrictamente decreciente.

Question

Esto forma parte de un problema de ciencia actuarial. Por desgracia, la solución oficial de este problema toma la derivada de $$\dfrac{0.5x^2 + x + 1}{x^2 + x + 1}\text{, } \quad x \geq 0\text{.}$$ y muestra que siempre es $\leq 0$ . Sin embargo, esto no demuestra en absoluto que la función sea estrictamente disminuyendo.

Estoy tratando de probarlo yo mismo. Si asumo $x > y$ Quiero demostrar que $$\dfrac{0.5x^2 + x + 1}{x^2 + x + 1} < \dfrac{0.5y^2 + y + 1}{y^2 + y + 1}\text{.}$$ No hace falta decir que esto no se ve limpio si tuviera que "trabajar hacia atrás".

¿Alguna sugerencia?

Answer 1

Podemos escribir la función como $\dfrac{0.5x^2+x+1}{x^2+x+1} = 1 - \dfrac{0.5x^2}{x^2+x+1} = 1 - \dfrac{0.5}{1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}}$ .

Se puede ver fácilmente que $1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}$ es estrictamente decreciente, por lo que $\dfrac{0.5}{1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}}$ es estrictamente creciente.

Por lo tanto, $1 - \dfrac{0.5}{1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}} = \dfrac{0.5x^2+x+1}{x^2+x+1}$ es estrictamente decreciente.

Answer 2

Diferenciar es una forma torpe de resolver el problema. Sin embargo, veamos la derivada. Es igual a $$-\frac{x(0.5x+1)}{(x^2+x+1)^2}.$$ El denominador está acotado a partir de $0$ . El numerador es negativo para $x\gt 0$ . Por lo tanto (Teorema del Valor Medio) nuestra función es estrictamente decreciente en el intervalo $(0,\infty)$ En efecto, en el intervalo $[0,\infty)$ .