Divergencia de$\sum_n e^{n(\sin n -1)}$

Question

Qué $\sum_n e^{n(\sin n -1)}$ convergen ?

Estoy bastante seguro de que esta serie diverge porque parece $n(\sin n -1)$ es "cercano" a $0$ infinitamente a menudo. Sin embargo, la falta de habilidades en diophantine aproximación a demostrar que...

Parcela de $- n(\sin n -1)$$1\leq n\leq 500$.

Abolladuras en el fondo azul son los valores pequeños. Puede que alguien me apunte en la dirección correcta ?

Contexto: algunos libros de texto de pregunta se pide el radio de $\sum_{n} e^{n\sin n}z^n$. Es fácil demostrar que la respuesta es $\frac 1e$, y me gustaría saber lo que ocurre en $z=\frac 1e$.

Answer 1

$\frac{\pi}{2}$ es irracional, por lo tanto tiene una infinita simple continuación de la fracción de expansión. Denota la convergents por $\frac{p_k}{q_k}$, la relación $p_{k-1}q_k - p_kq_{k-1} = (-1)^k$ - la celebración de todos los simples fracciones continuas - muestra que los denominadores de las sucesivas convergents son coprime, en particular, hay infinitamente muchos convergents de $\frac{\pi}{2}$ con un denominador impar. Además, para todos los convergents tenemos

$$\biggl\lvert \frac{\pi}{2} - \frac{p_k}{q_k}\biggr\rvert < \frac{1}{q_k q_{k+1}} \leqslant \frac{1}{{q_k}^2}.$$

Si $\frac{p}{q}$ es convergente de $\frac{\pi}{2}$ con un denominador $\equiv 3 \pmod{4}$, $a = 3p,\, b = 3q$ obtenemos un (no reducido) de la fracción con denominador $\equiv 1 \pmod{4}$ satisfactorio

$$\biggl\lvert \frac{\pi}{2} - \frac{a}{b}\biggr\rvert < \frac{9}{b^2}.$$

Por lo tanto, independientemente de si infinitamente muchos convergents de $\frac{\pi}{2}$ tienen un denominador $\equiv 1 \pmod{4}$ o no, hay infinitamente muchos pares de $(n,m)$ de los enteros positivos con

$$\biggl\lvert \frac{\pi}{2} - \frac{n}{4m+1}\biggr\rvert < \frac{9}{(4m+1)^2},\quad \text{or}\quad \biggl\lvert (4m+1)\frac{\pi}{2} - n\biggr\rvert < \frac{9}{4m+1}.\tag{1}$$

Para $m \geqslant 1$, $(1)$ implica $n < 2\cdot(4m+1)$, y por lo tanto

$$\biggl\lvert (4m+1)\frac{\pi}{2} - n\biggr\rvert < \frac{18}{n}.\tag{2}$$

Escrito $\xi_m := (4m+1)\frac{\pi}{2}$, la identidad

$$1 - \sin x = 1 - \cos \bigl(\xi_m-x\bigr) = 2\sin^2\bigl(\tfrac{1}{2}(\xi_m - x)\bigr)$$

se muestra que, para $(n,m)$ satisfacción $(2)$ hemos

$$1 - \sin n \leqslant \frac{162}{n^2}$$

y, en consecuencia,

$$\limsup_{n \to \infty} n(\sin n - 1) = 0,$$

mostrando que la serie es divergente, como se esperaba.