PID modulo distinto de cero ideal de un anillo semilocal

Question

Deje $R$ ser un anillo conmutativo, $\mathfrak{m}\subset R$ un ideal maximal y $f$ un monic polinomio en $R[x]$. Quiero mostrar que la $A:=\frac{R[x]}{\mathfrak{m}[x]+(f)}$ es un semilocal del anillo, donde $(f)$ significa que el ideal generado por a $f$.

Un paso hacia la solución podría ser la de mostrar que el $A\cong \frac{(R/\mathfrak{m})[x]}{(\overline{f})}$ donde $\overline f$ $f$ modulo ($\mathfrak{m}[x]+(f))$.

Entonces como $R/\mathfrak{m}$ es un campo, $(R/\mathfrak{m})[x]$ es un PID y por lo tanto tenemos un PID modulo de un ideal distinto de cero...

Como yo no puede mostrar el isomorfismo ni la reclamación concreta estoy muy agradecido por toda respuesta, sugerencia o consejos!

Answer 1

Seguro, usted está buscando en $$\frac{R[x]}{\mathfrak{m}[x]+(f)}\cong \frac{\frac{R[x]}{\mathfrak{m}[x]}}{\frac{\mathfrak{m}[x]+(f)}{\mathfrak{m}[x]}}=\frac{(R/\mathfrak{m})[x]}{(\overline{f})}$$ where $\overline{f}$ is the polynomial coefficients mod $\mathfrak m$.

Como se señaló, el último anillo es un cociente de un PID, y así la lista completa de los ideales que contienen a $(\overline{f})$ es facilitada por los divisores de $\overline{f}$, de los cuales hay sólo un número finito.