Si $A=\Gamma(X,O_X)$ y $Spec(A)=X$ y $Spec(A)=X$ como esquemas.

Question

Que $X$ ser un esquema y $A$ un anillo comutativo. Suponga que tenemos un isomorfismo $A \rightarrow \Gamma (X, O_X)$ y el mapa inducido $X \rightarrow Spec(A)$ es un Homeomorfismo.

Pregunta: ¿Es cierto que entonces X es isomorfo a $Spec(A)$ como esquemas?

Sospecho esto para ser verdad. He intentado comprobarlo en los tallos pero sólo tenemos para cada $\mathfrak{p} \subset A$de % que $O_{X,x}=A_\mathfrak{p}=\Gamma(X,O_X)_\mathfrak{p}$. Lamentablemente no sabemos que el anillo en el lado derecho es en realidad el tallo del $X$.

Answer 1

Aquí está una manera de concluir (puede haber formas más simples):

El morfismo de esquemas $X\to Spec(A)$ es un Homeomorfismo. Por lema 28.44.2 aquí entonces es un morfismo afín. Puesto que el objetivo es afín, esto implica que $X$ sí mismo es afín, y luego ya está.

Answer 2

Vamos a identificar el subyacente espacios topológicos de $X$ $\operatorname{Spec}(A)$ y escribir $O_A$ para la estructura de la gavilla de $\operatorname{Spec}(A)$. Así que tenemos un espacio topológico $X$ con dos poleas de los anillos de $O_X$ $O_A$ que hacer un esquema, un mapa de $O_A\to O_X$. Vamos a mostrar que el $O_X$ es un quasicoherent $O_A$-módulo.

Fijar un punto de $x\in X$. Tomar una $O_X$-afín a abrir vecindario $V$$x$; decir $(V,O_X|_V)$ es isomorfo a $\operatorname{Spec}(B)$ para algunos ring $B$. La composición de la $V\to X\to\operatorname{Spec}(A)$ induce un homomorphism $\varphi:A\to B$. Ahora tome un elemento $a\in A$ tal que el distinguido conjunto abierto $U=D(a)\subseteq\operatorname{Spec}(A)$ satisface $x\in U\subseteq V$. Tenga en cuenta que el distinguido abrir subconjunto $D(\varphi(a))\subseteq \operatorname{Spec}(B)=V$ tiene los mismos puntos que $D(a)$. Llegamos a la conclusión de que $U$ es una vecindad de a $x$ que es afín como un subscheme de ambos $X$$\operatorname{Spec}(A)$. De ello se desprende que $O_X|_U$ es un quasicoherent $O_A|_U$-módulo: esto es sólo el hecho de que si $f:Y\to Z$ es un mapa de afín a sistemas, $f_*O_Y$ es quasicoherent.

Desde quasicoherence es una propiedad local y $x\in X$ fue arbitraria, llegamos a la conclusión de que $O_X$ es un quasicoherent $O_A$-módulo. Desde $\operatorname{Spec}(A)$ es afín, esto significa que está determinado por su mundial de las secciones, así que la suposición de que $O_A\to O_X$ es un isomorfismo en global secciones implica es un isomorfismo de las poleas. De ello se desprende que $X\to \operatorname{Spec}(A)$ es un isomorfismo de los esquemas.

(Por cierto, el trabajo de verdad en este argumento es que se oculta en el (no trivial!) hecho de que cada quasicoherent gavilla en $\operatorname{Spec}(A)$ está determinado por su global secciones (es decir, que los haces sobre afín a los planes que se localmente inducida por módulos a nivel mundial inducida por módulos).)