Imagen directa del paquete del vector

Question

Que $f:X\to Y$ sea un morfismo de variedades proyectivas y $\mathcal{E}$ $X$ ser un paquete del vector. ¿Cómo puedo calcular explícitamente $f_*\mathcal{E}$ en diferentes situaciones?

Por ejemplo, $Y=\mathbb{P}^1$ y $X$ una cónica. ¿Qué es $f_*\mathcal{O}_X$?

Answer 1

Esta es una gran pregunta! Esperemos que alguien más informado que se les puede dar una satisfactoria respuesta. Sólo puedo ofrecer un par de trucos de salón

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Por ejemplo, si usted tiene un número finito de planos de morfismos $f:X\to\mathbb{P}^1_k$ donde $X/k$ es una curva suave, a continuación, $f_\ast\mathcal{E}$ será un vector paquete. Entonces, por Grothendieck del teorema de saber que

$$f_\ast\mathcal{E}=\mathcal{O}(n_1)\oplus\cdots\oplus\mathcal{O}(n_m)$$

Usted puede entonces muchas veces deducir lo que el $n_i$ son de cohomology cálculos. Es decir, desde que $f$ es afín, usted sabe que

$$H^i\left(\mathbb{P}^1,\mathcal{O}(n_1)\oplus\cdots\oplus\mathcal{O}(n_m)\right)=H^i\left(X,\mathcal{E}\right)$$

el lado derecho que usted probablemente sabe. Esto le dará un conjunto de ecuaciones en la $n_i$ que por lo general se determinan de forma única (¡ojalá!).

Más generalmente, si usted sabe lo que su mapa de $X\to\mathbb{P}^1$ está dado por $\mathscr{L}$, entonces usted tiene el extra de datos

$$H^i(\mathbb{P}^1,f_\ast\mathcal{E}\otimes\mathcal{O}(n))=H^i(X,\mathcal{E}\otimes\mathscr{L}^{\otimes n})$$

Ejemplo: Supongamos que $f:E\to\mathbb{P}^1$ es un grado dos, no constante, donde $E$ género $1$. Entonces, por el grado consideraciones sabes que $f_\ast\mathcal{O}_E$$\mathcal{O}(n_1)\oplus\mathcal{O}(n_2)$. Pero, utilizando la observación anterior, usted tiene que

$$H^0(\mathbb{P}^1,\mathcal{O}(n_1)\oplus\mathcal{O}(n_2))=H^0(E,\mathcal{O}_E)=1$$

y tan claramente debemos tener, sin pérdida de generalidad, que el $n_1=0$, e $n_2<0$. Pero, también tenemos la ecuación

$$1=H^1(E,\mathcal{O}_E)=H^1(\mathbb{P}^1_k,\mathcal{O}\oplus\mathcal{O}(n_2))=H^1(\mathbb{P}^1,\mathcal{O}(n_2))$$

Mirando la lista de valores para el cohomology de la línea de haces, se ve que esto obliga a $n_2=-2$. Por eso, $f_\ast\mathcal{O}_E=\mathcal{O}\oplus\mathcal{O}(-2)$.

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En una vena diferente, si estás mapa de $f:X\to Y$ es finito, entonces usted podría aprovechar la acción de la $\mathrm{Gal}(X/Y)$ $f_\ast\mathcal{E}$ y calcular su descomposición en irreducibles (suponiendo que la amabilidad de los casos).

Ejemplo: veamos el mismo ejemplo anterior, pero bajo esta luz. Supongamos, por razones obvias, que $\mathrm{char}(k)\ne 2$. Disponemos de una acción de $\mathrm{Gal}(E/\mathbb{P}^1)=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$. La acción de la $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ $f_\ast\mathcal{O}_E$ nos da una descomposición en el $\pm 1$-subespacios propios. Por lo tanto, tenemos una descomposición

$$f_\ast\mathcal{O}_E=\mathcal{O}_+\oplus\mathcal{O}_-$$

Dicho esto, es claro que $\mathcal{O}_+=\mathcal{O}$ (por qué)? Dicho esto, desde el $\mathcal{O}_E=\Omega^1_E$ tenemos la traza mapa $$\mathrm{tr}:f_\ast\Omega^1_E=f_\ast\mathcal{O}_E\to \Omega^1_{\mathbb{P}^1}=\mathcal{O}(-2)$$ que es surjective. Creo que un poco de reflexión mostrará que $\ker\mathrm{tr}=\mathcal{O}$, y por lo tanto tenemos una extensión $$0\to \mathcal{O}\to f_\ast\mathcal{O}_E\to\mathcal{O}(-2)$$ pero, por supuesto, este se divide desde $$\mathrm{Ext}^1(\mathcal{O}(-2),\mathcal{O})=\mathrm{Ext}^1(\mathcal{O},\mathcal{O}(2))=0$$