¿$k$-Álgebra, $2n$ generadores, definida como cociente de la álgebra libre por 2 caras ideal generado por sistema, centro & 2 caras ideales?

Question

Que $k$ sea un campo de $\text{char}\,k \neq 2$. Para cualquier $n \ge 1$, definir un $k$-álgebra $A_n(k)$, $2n$ generadores, como un cociente de la álgebra libre $k\langle x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_n\rangle$ por el ideal bilateral generado por el conjunto de $$\{x_iy_j - y_jx_i - \delta_{ij},\,x_i x_j - x_jx_i, \,y_iy_j - y_jy_i, \, i , j = 1, \ldots, n\}, \quad \delta_{ij} := \begin{cases} 1 & \text{if }i = j \\ 0 & \text{if }i \neq j.\end{cases}$ $ tengo unas preguntas.

• ¿Qué es el centro y todos dos caras ideales del álgebra $A_n(k)$ en el caso $\text{char}\,k = 0$?
• ¿Qué es el centro de la álgebra $A_n(k)$ en el caso $\text{char}\,k > 0$?

Answer 1

Su Álgebra $A_n(k)$ es el $n$ th álgebra de Weyl. Cuando el nacional de $k$ $0$, es simple y su centro es trivial. Cuando la característica de $k$ $p>0$, el centro es el bajoálgebra generado por competencias th $p$ $x_i^p$y $y_i^p$, $i=1,2,\dots,n$, de los generadores de $A_n(k)$.