Aplicación de la inversión de Möbius a $\Pi(x)$ y $\pi(x)$

Question

Agradecería que me ayudaran a aplicar el teorema de la inversión de Möbius al conteo de primos $\Pi (x)$ y $\pi (x)$ , donde:

$$\Pi(x) := \sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{n} \pi(x^{1/n})$$

y $\pi (x) = \sum_{n = 1}^\infty \frac{\mu (n)}{n} \Pi(x^{1/n})$ .

Lo que me cuesta, para empezar, es poner el $\Pi (x)$ en la forma que hace aplicable el teorema de inversión de Möbius:

$$f(n) = \sum_{d\mid n} g(d)$$

(Espero que si puedo ver eso, entonces puedo averiguar el $g(n)$ inversa).

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Edwards, "Riemann's Zeta Function" página 34 tiene un bonito algoritmo que sustituye $f(x)$ con $f(x) - (1/p)f(x^{1/p})$ a cada lado del $\Pi (x)$ ecuación anterior que he probado. Por supuesto que funciona.

También me pregunto si esto funciona para todas las aplicaciones de inversión de Möbius. Y también cómo esto se relaciona con las relaciones básicas del teorema de la inversión de Möbius como se ha dicho anteriormente.

EDIT: Como estoy formulando dos preguntas en una, tal vez los que respondan quieran dar respuestas separadas para que pueda reconocer plenamente sus amables esfuerzos.

Muchas gracias.

Answer 1

Dejemos que $F(x)$ y $G(x)$ (aquí) sean funciones de valor real definidas en el eje real positivo tales que $F(x)$ y $G(x)$ son $0$ para $0< x< 1.$

Dejemos que $\alpha(n) = 1/n.$ Esta función se llama completamente multiplicativo ya que para todo m,n

$$\alpha(m)\cdot\alpha(n) = \alpha(mn),$$ lo cual es cierto ya que

$\frac{1}{n}\cdot\frac{1}{m} = \frac{1}{mn}.$

La inversa de Dirichlet $\alpha^{-1}(n) $ de una función completamente multiplicativa $\alpha(n) $ es

$\alpha^{-1}(n) = \mu(n)\alpha(n),~~~ n\geq 1.$

Dado que $\alpha^{-1}(n) $ existe,

$$ G(x) = \sum_{n\leq x}\alpha(n)F(x/n) \leftrightarrow F(x) = \sum_{n\leq x}\alpha^{-1}(n)G(x/n) = \mu(n)\alpha(n)G(x/n)$$

y a la inversa. Esta es la fórmula de inversión de Möbius generalizada.

La aplicación a la inversión de Edwards es sencilla tomando $G(x) = \Pi(x), F(x) = \pi(x)$ y $\alpha(n) = 1/n $ como la función completamente multiplicativa necesaria para la aplicación del teorema general de la inversión.

Escribir los términos de la inversión de Edwards permite intuir cómo $\mu(n)$ trabaja aquí. Seguramente es posible trabajar hacia atrás y relacionar los enunciados más sencillos de la fórmula de inversión con la general, aunque esa es una cuestión aparte y tengo que dejarla aquí.

Este material se trata en general en la obra de Apostol Introducción a la teoría analítica de números pp. 30-40.