Demostrar que si $I-BA$ es invertible entonces $I-AB$ es invertible

Question

Demostrar que si $I-BA$ es invertible entonces $I-AB$ es invertible.

Aunque he encontrado esta pregunta ya publicada y también tiene algunas respuestas como

Utilice : $(IBA)(I+B(IAB)^{1}A)=I(IBA)(I+B(IAB)^{1}A)=I $

Lo he hecho así.

$I-BA$ es invertible $\implies 0$ no es un valor propio de $I-BA\implies 1$ no es un valor propio de $BA\implies 1$ no es un valor propio de $AB\implies 0$ no es un valor propio de $I-AB\implies I-AB$ es invertible.

He utilizado los hechos que la

1. $AB,BA$ tienen los mismos valores propios no nulos

Prueba :Deja $c\neq 0$ sea un valor propio de $AB$ correspondiente al vector propio $\alpha$ .entonces $A(B\alpha)=c\alpha$

Ahora $(BA)(B\alpha)=B(AB\alpha)=c(B\alpha)\implies c$ es un vector propio de $BA$ correspondiente a $B\alpha$ .también $B\alpha\neq 0$ De lo contrario, $c=0$ .

Del mismo modo, cada valor propio de $BA$ es un valor propio de $AB$ .

Cómo demostrar que tienen los mismos valores propios para si $A,B$ son $n\times n$ ¿matrices?

y

2. Si $c$ es un valor propio de una matriz $M$ entonces $1-c$ es un valor propio de $I-M$ .

Por favor, compruebe si mi respuesta es correcta o no.

Answer 1

De hecho, lo que usted llama el "uso" de este hecho es suficiente para una prueba.

Sin embargo, sus pasos son efectivamente (en su mayoría) correctos. Siempre que usted y el lector estén de acuerdo en dar por sentado que $AB$ y $BA$ compartir su valores propios no nulos (que es una afirmación no trivial), entonces esta prueba es válida. Ten en cuenta que, dependiendo de tu profesor, esto podría no ser suficiente detalle para una prueba en un examen.

Tenga en cuenta que $AB$ y $BA$ no comparten necesariamente todo de sus valores propios a menos que sean cuadrados. Es posible que $AB$ sea invertible sin $BA$ siendo invertible.