¿Qué demostrar la Conjetura de Collatz consiste?

Question

Desde el ir: no estoy tratando de probar la Conjetura de Collatz, donde cientos de personas más inteligentes que han fallado. Sólo tengo curiosidad.

Me pregunto donde uno tiene que empezar en la demostración de la Conjetura de Collatz. Es decir, basándose en la naturaleza del problema, ¿cuál es el punto de partida para intentar demostrarlo? Sé que puede ser representado de muchas formas, como la ecuación(que tendrías que repitan): $$\begin{align*} f(x) &= \left\{ \begin{array}{ll} n/2 &\text{if }n=0\bmod2 \\ 3n+1 &\text{if }n=1 \bmod2 \end{array} \right.\\ \puntal\\ a_i&= \left\{ \begin{array}{ll} n &\text{if }n =0\\ f(a_i-1)&\text{if }n>0 \end{array} \right.\\ \puntal\\ a_i&=\frac{1}{2}a_{i-1} - \frac{1}{4}(5a_{i-1} + 2)((-1)^{a_i-1} - 1) \end{align*}$$ Puede usted acaba de tomar la ecuación e ir de allí?

Otras maneras en que pensé sería intentar demostrar por sólo números pares o impares, o tratando de encontrar una ecuación que coincide con la gráfica de un número frente a su "Collatz longitud"

Estoy seguro de que hay otras maneras; pero sólo estoy tratando de entender lo que, en esencia, lo que demuestra esta conjetura comportaría y de donde iba a comenzar.

Answer 1

Agregar a @Adam B. la respuesta: examinar las condiciones de los posibles ciclos conduce a las relaciones de las potencias de 3 y potencias de 2, centrándose en los problemas que todavía no están resueltos.

Uno puede mirar en términos de aproximación : ¿cuál es la menor diferencia entre perfecto potencias de 3 y perfecto potencias de 2, relativa a la magnitud de uno de ellos o de la aproximación racional de registro(3)/log(2) donde nos encontramos con un detalle sin resolver en la Waring-problema (ver mathworld, "poder de las fracciones"). Algunos de los primeros pasos para la prueba de la no existencia de ciclos (en los enteros positivos, los enteros negativos, tenemos al menos 3 ciclos adicionales) fueron proporcionados por Ray Steiner 1996 y más tarde por John Simons y Benne de Weger que demostró la inexistencia de un cierto tipo de ciclos de uso racional aproximación enfoque.

O uno puede mirar el problema de los ciclos en términos de modular las condiciones, y llegar a otros sin resolver propiedades de la relación de potencias de 3 a potencias de 2. Hay, por ejemplo, la formulación en términos de "z-números" realizado por Kurt Mahler.

Por desgracia, incluso si eso 3/2-problemas fueron resueltos, lo que no significa que el Collatz-problema ya fue resuelto, y viceversa; por ejemplo, la solución de la Waring-problema-detalle sería sólo para solucionar el "1" ciclo de problema, pero no el general "m" ciclo de problema con m mayor que aproximadamente el 70 (usando la notación de Simons/De Weger): las condiciones mencionadas no están incluyendo cada uno de los otros. (Steiner/Simons/De Weger artículos están vinculados en la wikipedia, una más básica, amateur artículo de la mina de abordar estos aspectos un poco menos críptico se puede encontrar aquí )

Answer 2

Demostrar esta conjetura indirectamente implicaría dos cosas:

1. Demostrando que no hay ningún número n que aumenta indefinidamente

2. Demostrando que no hay número n que se repite indefinidamente (además de los 4, 2, 1) bucle

Si uno hace estas cosas, entonces usted tiene una respuesta a la conjetura de collatz (y si usted encuentra un caso de cualquiera de estas cosas te han refutado la conjetura de collatz obviamente)

Por supuesto, esto es sólo un enfoque que viene a la mente, hay otros posibles métodos que están más allá de mi propio conocimiento

Answer 3

La forma en que me interpretar el problema es

Para que no haya ciclos:

Que Collatz (¿Qué otra cosa? Pregunta importante) iteraciones cambiar los factores primos de algunos de número arbitrario tal que el futuro (Collatz) iteraciones de que el número no puede regresar a la original, o cualquier anterior, el conjunto de factores primos. En esencia, que los factores primos de, al menos a través de estas funciones específicas, se "alterados más allá de regreso." O que la única ruta de acceso a un conjunto anterior de los factores primos es invirtiendo sus operaciones anteriores, aunque esto es probablemente demasiado fuerte.

Para no divergentes de los números:

La mencionada serie de factores primos converge a un conjunto de únicamente {2^n}, y por lo tanto a es el conjunto vacío.

Answer 4

El problema puede ser sólo esos dos puntos:

1) hay un bucle? 2) hay una secuencia que aumenta sin límite?

Sin embargo, otra manera de solucionarlo sería mostrar que no puede haber dos < familias >. Hasta muy altos valores de n, sabemos empíricamente que a partir de cualquier n menos de ese valor, en repetidas ocasiones la elección de n/2 para incluso n y 3n+1 para impar n da una secuencia que termina en 1.

Llamar a este conjunto de secuencias que terminan en 1 < terminar-en-1 de la familia >.

A continuación, la tarea cantidades para probar si puede haber un < desviada de la familia > donde un bucle o una secuencia de aumentar sin límite equivaldría a una desviación de la familia. Entonces el desafío (en el fin de demostrar Collatz/Ulam/Thwaites correcta) es mostrar que cualquier otro de la familia de las secuencias deben en algún lugar de producir un número que está dentro de la terminate-en-1 de la familia.

El terminar-en-1 de la familia contiene, y si existiese cualquier desviada de la familia podría contener un número infinito de números naturales de cada uno.

Answer 5

Mi forma de mirar collatz problema que participan los siguientes hechos: 1. encontrar si 1-4-2-1 podría ser el único ciclo. Traté de investigar con números enteros negativos y, por tanto, a 4 de esos ciclos y uno de ellos era válido para enteros positivos 2. averiguar si la recorre aguas arriba es acotado o no. yo.e similares para todos los números enteros en la iteración se unen a 1, podemos encontrar la inversa de collatz operaciones, lo que conduce a un almacén de enteros(semillas entero) no necesariamente un número. lo que demuestra la secuencia de iteración son acotados. Yo era capaz de conseguir este también 3. en última instancia, demostrar que todos los números enteros que forman las semillas para que recorre seguir un solo ciclo.

Yo era capaz de hacer todas estas, pero todavía mi prueba no es aceptada. pasan casi 5 años en la conceptualización y llegar a una prueba.