¿Por qué el tiempo de evolución operador tiene la forma $U(t) = e^{-itH}$?

Question

Vamos a denotar por $|\psi(t)\rangle$ alguna función de onda en el tiempo $t$. A continuación, vamos a definir el tiempo de evolución operador $U(t_1,t_2)$ a través de

$$ U(t_2,t_1) |\psi(t_1)\rangle = |\psi(t_2)\rangle \tag{1}$$

y Hamiltonianos $H$ a través de

$$ H |\psi(t)\rangle = i\frac{\partial}{\partial t} |\psi(t)\rangle. \tag{2}$$

(Hemos puesto en $\hbar = 1$.)

Pregunta.

¿Cuál es la relación entre el$U$$H$, dado que el $H$ no depende explícitamente en $t$?

Los intentos.

Es bien sabido que la respuesta es $U(t_2,t_1) = c \cdot e^{-i(t_2-t_1)H}$ para algunos escalares $c$.

Algunas fuentes postulado se sigue por el operador de la ecuación de $HU = i \frac{\partial}{\partial t} U$ pero no podemos integrarlo como podríamos de una ecuación diferencial ordinaria $f(x)g(x) = \frac{\partial}{\partial x} g(x)$ (al menos yo no sé cómo integrar los operadores!).

Luego también podemos "adivinar" la solución de $U(t_2,t_1) = c \cdot e^{-i(t_2-t_1)H}$ y verificar mediante la inserción en los $(1)$, pero entonces todavía tenemos que demostrar que esta es la solución general, es decir, $e^{-i(t_2-t_1)H}$ abarca el conjunto de todas las soluciones. También este enfoque no se ilumine de por qué elegimos ese particular adivinar.

Answer 1

Para independiente del tiempo Hamiltonianos, $U(t) = \mathrm{e}^{\mathrm{i}Ht}$ sigue a partir de la Piedra del teorema en un parámetro unitario de los grupos, ya que la ecuación de Schrödinger $$ H\psi = \mathrm{i}\partial_t \psi$$ es simplemente la afirmación de que $H$ es el generador infinitesimal de un grupo de parámetros de parametrizadas por el tiempo de $t$.

Para el tiempo-dependiente de la Hamiltonianos $H(t) = H_0 + V(t)$, el tiempo de evolución, en realidad depende el inicio y el final de los puntos, y la ecuación de Schrödinger es de forma iterativa resuelto por una de la serie de Dyson en la interacción de la imagen, cuya forma esquemática es $$ U(t_1,t_2) = \mathcal{T}\exp(\int_{t_1}^{t_2}\mathrm{e}^{\mathrm{i}H_0 t}V(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}H_0t}\mathrm{d}t)$$ en la imagen de Schrödinger, y se obtiene a partir de la ecuación de evolución en la interacción de la imagen, que es la Tomonaga-Schwinger ecuación $$ \mathrm{i}\partial_t U_I(t,t_0)\psi_I(t_0)\lvert_{t=t_1} = V(t_1)U_I(t_1,t_0)\psi_I(t_0)$$ y la iteración de la solución $$ U(t_1,t_0) = 1 - \mathrm{i}\int_{t_0}^{t_1}U(t,t_0)\mathrm{d}t$$

Answer 2

Una respuesta intuitiva para motivar a la Piedra teorema que ACuriousMind la respuesta de la cites.

Tomar un sistema cuántico. Por ahora, vamos a ser un número finito de dimensiones (la Piedra teorema es necesaria para que el razonamiento de trabajo en un separables, de infinitas dimensiones espacio de Hilbert). Vamos a evolucionar por el tiempo de $t_1$. El estado de evolución es de algún operador lineal $U(t_1)$ impartida en la entrada de $\psi$. Ahora vamos a evolucionar para $t_2$. El estado es ahora $U(t_2)\,U(t_1)\psi$. $U(t)$ es aquí un $N\times N$ matriz cuadrada. Pero estas dos evoluciones son el mismo como $U(t_1+t_2)$. Así que hemos de inmediato:

$$U(t_1+t_2) = U(t_2) U(t_1)$$.

A partir de esta ecuación funcional, así como el postulado de que la evolución a través de cualquier timeslice de cualquier longitud $\delta t$ es la misma que la evolución a través de cualquier otro timeslice de la misma duración (es decir, suponemos que nuestro sistema no es variable de tiempo), podemos extraer $U(q) = U(1)^q$ para cualquier racional $q$.

El único continua extensión de una función de este tipo es la matriz exponencial de la forma $U(t) = \exp(K\,t)$. En este caso en particular, sabemos que nuestra evolución debe ser unitario (el sistema tiene la unidad probabilidad de acabar en algún estado!), que nos dice que $K=-K^\dagger$. Por lo tanto, podemos escribir la $U(t) = \exp\left(-\frac{i}{\hbar}H\,t\right)$ para algunos Hermitian $H$.

Answer 3

Esta bastante detallada respuesta potencialmente gráfico de los problemas y supuestos que son necesarios para que una idea simple. La comprensión de cómo se hace podría ser más útil que hacerlo realidad.

Asunción 0) El Hamiltoniano es independiente del tiempo.

Para ser honesto, yo nunca encontrar argumentos acerca de la toma de derivados de operadores muy atractivo. Vamos a tener un Espacio de Hilbert (un espacio vectorial con una estructura adicional) y hablar acerca de los operadores que son meras funciones desde el espacio vectorial a sí mismo (o de un subconjunto de un espacio vectorial a sí mismo) o para un vector operador ... puede ser un número de funciones de (un subconjunto de) el espacio vectorial a sí mismo). Si tenemos una función con parámetros de (un subconjunto de) $\mathbb R$ en el espacio vectorial, entonces podemos tomar un ordinario (vector con valores) derivada de la función. Vamos a incorporar este tema en el siguiente con sólo tener $H$ actuar sobre vectores para dar a los vectores, y si usted tiene una función con parámetros actuará en cada vector en el parámetro de Lo $(H[\vec v])(t)=H[\vec v(t)].$

Hipótesis 1) El Hamiltoniano es auto-adjunto.

Esto significa que hay una base ortonormales de vectores propios. En realidad, tener una base ortonormales de vectores propios es más fundamental que es auto-adjunto cuando se trata de operadores vectoriales, y eso es lo que queremos, así que en realidad que es lo que debe de asumir, pero es tradicional que decir que las características observables se auto-adjunto. Y este es el operador escalar, entonces está bien hacerlo de la forma tradicional (hacia atrás).

Por lo tanto, fijar un máximo conjunto de vectores propios ortonormales $\{|n\rangle:n\in\mathbb N \}$ con los correspondientes autovalores $\{E_n\}.$ tenga en cuenta que los vectores propios tienen una densa palmo, y en particular, para un vector arbitrario $\vec v$ en el espacio de Hilbert $\mathcal H$ no son exclusivos de los coeficientes de $c_n=\langle v | n\rangle$ tal que $\vec v = \lim_{N\rightarrow \infty}\Sigma_{k=0}^{k=N} c_k|n\rangle.$

Nota para la siguiente parte, que para un autovector $|n\rangle,$ $H|n\rangle=E_n|n\rangle.$

Hipótesis 2) Asumir que la evolución está determinada por la ecuación de Schrödinger $ \frac{\partial}{\partial t} |\psi(t)\rangle = \frac{1}{i}H |\psi(t)\rangle$

Asumimos que el anterior para cada uno de los vectores, no sólo el que nos importa (y esto es esencial) y lo combina con la suposición de una nos $\frac{\partial}{\partial t} |n\rangle = \frac{1}{i}H |n\rangle= \frac{1}{i}E_n |n\rangle.$, Pero esto significa que la evolución no se limita a una 1d subespacio del espacio de Hilbert, por lo regular 1d ecuaciones diferenciales ordinarias aplicar por la sencilla ecuación de $\frac{d}{d t} \vec{v} = \frac{1}{i}E_n \vec v.$ tiene solución regular de 1d ODA de la $\vec{v}(t)=e^{-iE_n}\left[\vec{v}(0)\right].$

Si usted considera que fija máxima del conjunto de vectores propios ortonormales $\{|n\rangle:n\in\mathbb N \}$ con los correspondientes autovalores $\{E_n\}$, entonces usted puede obtener un tiempo parametrizado de la familia de indexado vectores $\{|n\rangle(t)=e^{-iE_n}\left[|n\rangle(0)\right]:n\in\mathbb N\}\subset \mathcal H.$ Cada uno de los cuales es en sí mismo correctamente la evolución en el tiempo.

Hipótesis 3) Suponga que el Hamiltoniano es continua/delimitada (lo mismo ya que es lineal)

Sabemos lo $\Sigma_{k=0}^{k=N} c_k|n\rangle$ evoluciona en el tiempo de $\frac{d}{dt}\Sigma_{k=0}^{k=N} c_k|n\rangle=\Sigma_{k=0}^{k=N} c_k\frac{d}{dt}|n\rangle$ por la linealidad y que es igual a $\Sigma_{k=0}^{k=N} c_kE_n|n\rangle$ ya que es cómo los estados particulares evolucionar desde arriba. Pero ya que son vectores propios llegamos $\Sigma_{k=0}^{k=N} c_kE_n|n\rangle=\Sigma_{k=0}^{k=N} c_kH|n\rangle$ que por la linealidad es igual a $H\Sigma_{k=0}^{k=N} c_k|n\rangle$ Y por supuesto de $H$ es continua/delimitada por lo $\lim H\Sigma_{k=0}^{k=N} c_k|n\rangle=H\lim\Sigma_{k=0}^{k=N} c_k|n\rangle$

Sabemos lo $\Sigma_{n=0}^{n=N} c_n|n\rangle(t)=\Sigma_{n=0}^{n=N} c_ne^{-iE_nt}|n\rangle(0)$ evoluciona en el tiempo:

$\begin{eqnarray} \frac{d}{dt}\Sigma_{n=0}^{n=N} c_n|n\rangle(t)&= \Sigma_{n=0}^{n=N} c_n\frac{d}{dt}|n\rangle(t) \\ &= \Sigma_{n=0}^{n=N} c_n\frac{1}{i}E_n|n\rangle(t) \\ &= \Sigma_{n=0}^{n=N} c_n\frac{1}{i}H|n\rangle(t)\\ &= \frac{1}{i}H\Sigma_{n=0}^{n=N} c_n|n\rangle(t). \end{eqnarray}$

Donde cada signo igual viene de: la linealidad de la diferenciación en el n dimensional espacio vectorial generado por los vectores, la evolución de la $|n\rangle$, el vector propio de la naturaleza de los vectores, y, finalmente, por la linealidad de la Hamiltoniana. Pero realmente la cosa siguió a partir de la ecuación de Schrödinger, lo siento.

Ahora podemos encontrar

$\begin{eqnarray} \frac{d}{dt}\vec v(t)&= \frac{d}{dt}\lim \Sigma_{n=0}^{n=N} c_n|n\rangle(t) \\ &= \frac{1}{i}H\lim \Sigma_{n=0}^{n=N} c_n|n\rangle(t) \\ &= \frac{1}{i}\lim H\Sigma_{n=0}^{n=N} c_n|n\rangle(t) \\ &= \lim \frac{1}{i}H\Sigma_{n=0}^{n=N} c_n|n\rangle(t) \\ &= \lim \frac{d}{dt}\Sigma_{n=0}^{n=N} c_n|n\rangle(t). \end{eqnarray}$

Donde cada signo igual es debido a la densidad de los vectores propios (y la definición de $v(t)$), la ecuación de Schrödinger, la evolución, la continuidad/acotamiento de $H,$ linealidad, y, finalmente, la ecuación de Schrödinger.

Hasta el momento esto puede parecer increíblemente aburrido, o incluso trivial. Pero si el Hamiltoniano no eran auto adjunto habría problemas. Si no fue continuo/delimitada a continuación, no podría actuar en todo el espacio (por lo que algunos vectores no habría tiempo de derivados) o de lo contrario su valor no estaría determinado por los vectores propios, ya que incluso si los vectores propios formado combinaciones lineales que consiguió cerrar el $H$ que actúa sobre el límite puede no ser el límite de lo $H$ lo hace en la secuencia que se acerca al límite). Así que tenemos estos supuestos para ello los cálculos.

OK. Así que ahora podemos afirmar que el tiempo de derivados se determina por el tiempo derivado de la combinación lineal de los vectores propios. Lo cual es genial. Porque sabemos cómo aquellos que trabajan en el operador $U(t_2,t_1)=e^{-i(t_2-t_1)H}.$ Para cualquier vector propio $|n\rangle(t_1)$ sabemos $U(t_2,t_1)|n\rangle(t_1)$=$e^{-i(t_2-t_1)H}|n\rangle(t_1)$=$e^{-i(t_2-t_1)E_n}|n\rangle(t_1)$=$e^{-i(t_2-t_1)E_n}e^{-iE_nt_1}|n\rangle(0)$=$e^{-iE_nt_2}|n\rangle(0)$=$|n\rangle(t_2)$.

Evoluciona vectores propios. Pero, de nuevo, a causa de la continuidad/acotamiento de $H$ obtenemos que para cualquier vector absoluto $e^{-i(t_2-t_1)H}$ está determinado por los vectores propios y de la acción en la que el límite es el límite de la acción en la secuencia que se acerca al límite.

Entonces, ¿qué hemos hecho. Primero nos mostraron singularidad, encontramos lo que los vectores propios que tenía que hacer, y argumenta que debido a la continuidad de $H$ el tiempo de derivados se determina por el tiempo de derivados en los vectores propios, y esta evolución evoluciona los vectores propios fino y de nuevo por la continuidad que se debe dar esa solución única.

Realmente no teníamos que hacer nada de fantasía.

Pero ¿y si el Hamiltoniano no es auto-adjunto? Algunas personas lo hacen, pero luego simplemente cambiar la topología y en la nueva topología es auto adjuntos, así que en realidad nadie parece realmente hacer eso.

Lo que si es que no sigue la ecuación de Schrödinger? Como el tiempo operador de la derivada es (anti) auto adjunto, estamos bien, no cambia nada. Pero esto está fuertemente relacionado con la conservación de la probabilidad y la evolución unitaria, por lo que el cambio que iba a ser un gran problema, especialmente para los más populares de la probabilidad basada en interpretaciones.

¿Y si el Hamiltoniano no estaba delimitada? Eso significa que usted tendría arbitrariamente altas energías. No sabemos realmente lo que sucede en el super altas energías, por lo que si los resultados depende exactamente de lo que sucede en el super altas energías, no confiar en sus resultados demasiado. Así que ¿por qué no reemplazar un Hamiltoniano que tiene super altas energías con uno que no? Mediante el ajuste del espacio de Hilbert se puede encajar en un acotado rango de energías para su Hamiltoniano, pero tal vez algunos operadores como será definido sólo un subconjunto, que es realmente lo que sucede tiene que restringir el dominio de algunos operadores, y luego tratar. Así la vida será más complicado si el Hamiltoniano no es limitada, de una manera o de otra.

Lo que si el Hamiltoniano depende del tiempo? Esto está fuertemente relacionado con la falta de conservación de la energía. Lo que generalmente significa que usted tenía un sistema externo que interactúan con el sistema. Por un lado, se podría incluir en el sistema externo y tener un sistema más amplio y, a continuación, si la pista de que la energía que fluye desde el otro sistema, a continuación, la energía puede ser conservada de nuevo. Lo que esto significa es que, en lugar de un sistema externo que sólo hace lo que hace de configurar el estado de la anteriormente-sistema externo y se deja evolucionar también, así que el tiempo es parte del pasado, y las cosas no hacen lo que hacen porque cada parte evoluciona la forma en que evoluciona. Esto es completamente una forma correcta de hacerlo, donde la dependencia del tiempo se ha ido.

Así que usted tiene que sopesar la dificultad de incorporar un realista (sub)sistema frente a tener un dependiente del tiempo de Hamilton. Donde hicimos nuestra suposición de independiente del tiempo de Hamilton? Hemos utilizado a lo largo de todo por tener un operador solo se una cosa que actúan sobre vectores (hipótesis 0).

Answer 4

Una muy simple prueba de ingresos a lo largo de las siguientes líneas. $$\Psi(t_1+\Delta t)=\Psi(t_1)+\frac{\partial \Psi}{\partial t} \Delta t $$ where we omitted higher order $\Delta t$ terms (will disappear when we let $\Delta t \a 0$ later). Applying this formula recursively, we get $$\Psi(t_1+2\Delta t)=\Psi(t_1)+2\frac{\partial \Psi (t_1)}{\partial t} \Delta t+\frac{\partial^2\Psi (t_1)}{\partial t^2}(\Delta t)^2 $$ la Aplicación de esta fórmula N veces conduce a $$\Psi(t_1+N\Delta t)= \left(1 +\Delta t\frac{\partial}{\partial t}\right)^N\Psi(t_1) $$ La sustitución de $\frac{\partial}{\partial t}$ $-iH$ conduce a $$ \Psi(t_1+N\Delta t)= (1 -i\Delta tH)^N\Psi(t_1) $$ Up to first order in $\Delta t$ podemos reescribir esto, el uso de la expansión de Taylor de la exponencial de un operador como: $$ \Psi(t_1+N\Delta t)= (e^{-i\Delta tH})^N\Psi(t_1) $$ Using $e^Ae^B=e^{A+B}$ and this $N-1$ times. Letting $\Delta t \a 0$ and $N\to \infty$ tal que $N\Delta t = (t_2-t_1)$, finalmente llegamos $$\Psi(t_2)=e^{-i(t_2-t_1)H }\Psi(t_1)=U(t_2,t_1)\Psi(t_1)$$ Hasta el momento, $H$ fue assummed a ser independiente del tiempo, pero aplicando la misma lógica por un tiempo-dependiente de la $H(t)$, se obtiene el siguiente resultado (en la imagen de Schroedinger) $$ U(t_2,t_1) = e^{-i \int_{t_1}^{t_2} H(t)dt}$$

Answer 5

Si los vectores propios de a $\hat H$ no dependen explícitamente en $t$ (los autovalores puede) entonces podemos hacer fácilmente el sentido de $\hat H~U = i \partial_t U$ trabajando en la eigenbasis de $\hat H$ donde $H$ es diagonal, porque si $\hat H = \operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \dots)$$\exp(-i~\hat H~t) = \operatorname{diag}(e^{-i\lambda_1t}, e^{-i\lambda_2t}, \dots)$. Todos los términos puede asegurarse de ser tratados de forma independiente.

Hecho formalmente, la constante de integración, a continuación, aparece a cualquier matriz diagonal: pero sabemos que queremos $U(0, 0) = 1$ es la matriz identidad y a fin de que la diagonal de la matriz es el $0$-matriz.