Esto no pretende ser una respuesta completa, más como un experimento de pensamiento, que es demasiado largo para un comentario.
Como @ParclyTaxel mencionado, funcional raíces cuadradas abundan, pero a veces son muy difíciles de encontrar. Permítanme ampliar sobre este punto a través de un sencillo ejemplo.
Considere la función $g:\mathbb C\to\mathbb C$ definida en todo el plano complejo como $g(x)\equiv -x$ por cada $x\in\mathbb C$. Es muy fácil encontrar una función de $f:\mathbb C\to\mathbb C$ tal que $f\circ f=g$; definir $f(x)\equiv\mathsf ix$ por cada $x\in\mathbb C$.
Sin embargo, lo que si $g:\mathbb R\to\mathbb R$, siendo definido como $g(x)\equiv -x$$x\in\mathbb R$, se limita a la línea real? Una solución a la funcional-square-raíz del problema todavía existe, pero la respuesta es la manera menos evidente en este caso.
Para la exhibición de una de estas soluciones, la primera nota de que los intervalos de $(0,1)$ $[1,\infty)$ tienen la misma cardinalidad, por lo que existe un bijection $h:(0,1)\to[1,\infty)$ entre ellos. Denotar la inversa como $h^{-1}:[1,\infty)\to(0,1)$. Definir $f:\mathbb R\to\mathbb R$ como sigue:
\begin{align*}
f(x)\equiv\begin{cases}h^{-1}(-x)&\text{if %#%#%},\\-h(-x)&\text{if %#%#%,}\\0&\text{if %#%#%,}\\h(x)&\text{if %#%#%,}\\-h^{-1}(x)&\text{if %#%#%.}
\end{casos}
\end{align*}
No es difícil comprobar que $x\in(-\infty,-1]$, pero, como se puede ver, la respuesta es menos sencillo de lo que lo era en el caso complejo.
