He trabajado a través de dos más explícito enfoques para calcular el
Massey producto. Es una manera de seguir las notas de Bruner, el uso de
teorema de 2.6.5 y los párrafos que siguen. Las notas son muy buenas, y no hay mucho que yo podría añadir a ellos. El segundo es el uso de
el cobar complejo y el trabajo de la Massey producto de forma explícita. Para este
enfoque, el cálculo es mucho más sencillo si utilizamos los resultados en
McCleary del libro "Guía del Usuario Espectral de Secuencias," vea las páginas
378--379, y 128--130.
Deje $\mathcal{A}$ denotar el álgebra de Steenrod en el primer 2. Recordar
$\mathcal{A}$ es generado por el Steenrod plazas $Sq^i$ $i\geq
0$ and the admissible monomials form an $\mathbb{F}_2$-base para
$\mathcal{A}$. Voy a utilizar $-^{\vee}$ para el functor de graduados
$\mathcal{A}$-módulos de $Hom^{*}_{\mathcal{A}}(-, \mathbb{F}_2)$. Recordar
que $\mathcal{A}$ tiene un aumento de $\epsilon : \mathcal{A} \
\mathbb{F}_2$. Denote $\ker(\epsilon)$ by $I(\mathcal{A})$.
Primero necesitamos la (reducida) de la barra de la resolución de $\mathbb{F}_2$. Este
toma la forma
\begin{equation*}
\mathbb{F}_2 \leftarrow \mathcal{A} \leftarrow \mathcal{A} \otimes I(\mathcal{A}) \leftarrow \mathcal{A} \otimes I(\mathcal{A}) \otimes I(\mathcal{A}) \leftarrow \cdots
\end{ecuación*}
Deje $B_n = \mathcal{A} \otimes I(\mathcal{A})^{\otimes n}$ a simplificar
la notación. El tensor de productos son más de $\mathbb{F}_2$, y el
la notación tradicional para un elemento en $B_n$ es $\gamma[\gamma_1 \vert
\gamma_2 \vert \cdots \vert \gamma_n]\equiv \gamma \otimes \gamma_1
\otimes \cdots \otimes \gamma_n$. Una razón para esto es que nos
considere la posibilidad de $B_n$ $\mathcal{A}$- módulo con acción $x \cdot
\gamma[\gamma_1 \vert \cdots \vert \gamma_n] = (x\gamma)[\gamma_1
\vert \cdots \vert \gamma_n]$. The maps $d_n : B_n \a B_{n-1}$ en el
la resolución se define por
\begin{equation*}
d_n(\gamma[\gamma_1 \vert \cdots \vert \gamma_n]) = \gamma\gamma_1[\gamma_2 \vert \cdots \vert \gamma_n] + \gamma[\gamma_1\gamma_2 \vert \cdots \vert \gamma_n] + \cdots + \gamma[\gamma_1 \vert \cdots \vert \gamma_{n-2} \vert \gamma_{n-1}\gamma_{n}].
\end{ecuación*}
Esta es una resolución de $\mathbb{F}_2$ libre $\mathcal{A}$-módulos,
como se puede comprobar. Consulte las páginas 242--248 en McCleary para más
detalles. Con esto en mano, si aplicamos $-^{\vee} =
Hom^*_{\mathcal{A}}(-,\mathbb{F}_2)$ y tomar cohomology de la
resulta complejo de cadena, lo vamos a conseguir
$Ext^{**}_{\mathcal{A}}(\mathbb{F}_2,\mathbb{F}_2)$.
Vamos ahora a dualize la construcción de la barra de arriba, es decir, aplicar nuestros functor
$-^{\vee}$. Vamos a conseguir
\begin{equation*}
\mathcal{A}^{\vee} \rightarrow (\mathcal{A} \otimes
I(\mathcal{A}))^{\vee} \rightarrow (\mathcal{A} \otimes I(\mathcal{A}) \otimes
I(\mathcal{A}))^{\vee} \rightarrow \cdots
\end{ecuación*}
que es
\begin{equation*}
\mathbb{F}_2 \rightarrow Hom^*_{\mathbb{F}_2}(I(\mathcal{A}),\mathbb{F}_2) \rightarrow Hom^*_{\mathbb{F}_2}(I(\mathcal{A}),\mathbb{F}_2) \otimes Hom^*_{\mathbb{F}_2}(I(\mathcal{A}),\mathbb{F}_2) \rightarrow \cdots.
\end{ecuación*}
Una $\mathcal{A}$-mapa del módulo $B_n \to \mathbb{F_2}$ está determinado por su
valores en $\mathcal{A}$ -, y los elementos de la forma
$1[\gamma_1 \vert \cdots \gamma_n]$ es uno de esos base, donde todos
el $\gamma_i$'s son admisibles monomials de grado positivo. Así nos
ver $B_n^{\vee} \cong Hom^*_{\mathbb{F}_2}(I(\mathcal{A}),
\mathbb{F}_2) = I(\mathcal{A})^{dual}$. Here we define $X^{dual} = Hom_{\mathbb{F}_2}(X, \mathbb{F}_2)$.
El dualized mapas de $d_n^{\vee} : B_{n-1}^{\vee} \to B_{}^{\vee}$ tiene un
muy práctico descripción si utilizamos la descripción de la doble Steenrod
álgebra de $\mathcal{A}^{dual} = Hom_{\mathbb{F}_2}^*(\mathcal{A},
\mathbb{F}_2)$ determinado por Milnor en su documento de 1958 `La Steenrod
álgebra y su doble." Es decir, $\mathcal{A}^{dual} =
\mathbb{F}_2[\zeta_1, \zeta_2, ... ]$ where $\mathrm{grados} \zeta_i = 2^i -
1$. Furthermore, the coproduct $\phi^{dual}$ for $\mathcal{A}^{dual}$
se determina por $\phi^{dual}(\zeta_i) = \sum_{j+k = i}
\zeta_j^{2^k}\otimes \zeta_k$. As $\phi^{dual}$ es un álgebra de
homomorphism, esto determina el subproducto. Para empezar, $d_1^{\vee}
: \mathbb{F}_2 \a I(\mathcal{A})^{dual}$ is the zero map $1
\mapsto 0$. Furthermore, the map $d_2^{\vee} :
I(\mathcal{A})^{dual} \I(\mathcal{A})^{dual}\otimes
I(\mathcal{A})^{dual}$ is given by $[x] \mapsto \sum [x' \vert x"]$ donde
$\phi^{dual}(x) = 1\otimes x + x \otimes 1 + \sum x' \otimes x''$.
Aquí están algunos de hormigón cálculos. Como $\phi^{dual}(\zeta_1) =
1\otimes \zeta_1 + \zeta_1 \otimes 1$, we have $\phi^{dual}(\zeta_1^2)
= \zeta_1^2 \otimes 1 + 1 \otimes \zeta_1^2$ y
\begin{equation*}
\phi^{dual}(\zeta_1^3) = 1\otimes \zeta_1^3 + \zeta_1 \otimes
\zeta_1^2 + \zeta_1^2 \otimes \zeta_1 + \zeta_1^3 \otimes 1
\end{ecuación*}
Por lo tanto $d_2^{\vee}(\zeta_1) = 0$, $d_2^{\vee}(\zeta_1^2) = 0$ y
\begin{equation*}
d_2^{\vee}([\zeta_1^3]) = [\zeta_1 \vert \zeta_1^2] + [\zeta_1^2 \vert \zeta_1].
\end{ecuación*}
Otro cálculo que vamos a necesitar es para $\zeta_2$. Recuerdan $\zeta_2$ es
de grado $3$, y es el doble de $Sq^2Sq^1$. El subproducto de
$\zeta_2$ es $\phi^{dual}(\zeta_2) = 1\otimes \zeta_2 + \zeta_1^2
\otimes \zeta_1 + \zeta_2 \otimes 1$. Por lo tanto
\begin{equation*}
d_2^{\vee}([\zeta_2]) = [\zeta_1^2 \vert \zeta_1].
\end{ecuación*}
Ahora lo que hace posible la computación (y definir supongo!) el
Massey productos en $Ext_{\mathcal{A}}(\mathbb{F}_2, \mathbb{F}_2)$ es
que el doble de la barra de resolución---que se llama la cobar
construcción---es un DG álgebra cuya cohomology es
$Ext_{\mathcal{A}}(\mathbb{F}_2, \mathbb{F}_2)$. Uno de los productos en el
la barra de la resolución es la yuxtaposición de producto (o de concatenación
producto). Es decir, definir
\begin{equation*} [\gamma_1 \vert \cdots \vert \gamma_n] * [\beta_1
\vert \cdots \vert \beta_m] = [\gamma_1 \vert \cdots \vert \gamma_n
\vert \beta_1 \vert \cdots \vert \beta_m].
\end{ecuación*}
Resulta que esto está de acuerdo con la composición del producto, que es un buen
cosa, ver McCleary pg. 383. Así, con respecto a la yuxtaposición
producto, los diferenciales $d_*^{\vee}$ satisfacer la regla de Leibniz. Así
podemos definir el Massey productos! La yuxtaposición del producto es agradable
porque nos permite hacer cálculos con facilidad.
Vamos ahora, por último, calcular $\langle h_0, h_1, h_0 \rangle = \left\{[ a
*h_0 + h_0 *b] \, \vert \, d_2^{\vee}a = h_0*h_1 \, d_2^{\vee} b =
h_1 * h_0 \right\}$. En esta definición, los corchetes significan
cohomology de la clase. Primero debemos averiguar a qué nos referimos por " $h_0$ y
$h_1$. Permítanos calcular $Ext_{\mathcal{A}}^{1,1}$ y
$Ext_{\mathcal{A}}^{1,2}$. Para el primero, la imagen es 0, y el
núcleo de $d_2^{\vee}$ en el grado 1 es $[\zeta_1]$. Así que vamos a definir
$h_0 = [\zeta_1]$. A continuación, vemos que el núcleo de $d_2^{\vee}$ en
grado 2 es $[\zeta_1^2]$ y de nuevo la imagen es de 0. Así que vamos a definir
$h_1 = [\zeta_1^2]$. El producto $h_0 * h_1$ se desvanece en
$Ext^{1,3}$, por lo que debe ser el límite de algo. Por nuestra anterior
los cálculos, vemos que $d_2^{\vee}([\zeta_1^3] + [\zeta_2]) =
[\zeta_1 \vert \zeta_1^2]$. Also, the product $h_1 * h_0 = [\zeta_1^2
\vert \zeta_1]$ vanishes in $Ext^{1,3}$, por lo que también debe ser el
límite de algo. Nuestros cálculos muestran que
$d_2^{\vee}([\zeta_2]) = [\zeta_1^2 \vert \zeta_1]$. Ahora podemos
identificar un elemento en el Massey producto. A saber:
\begin{equation*}
[\zeta_1^3 + \zeta_2 \vert \zeta_1] + [ \zeta_1 \vert \zeta_2] =
[\zeta_1^3 \vert \zeta_1] + [\zeta_2 \vert \zeta_1 ] + [\zeta_1 \vert \zeta_2].
\end{ecuación*}
El elemento que está presente en $Ext^{2,4}$? Bien, nos vamos a calcular algunos
más. En primer lugar,
\begin{align*}
\phi^{dual}(\zeta_2\zeta_1)& = (1\otimes \zeta_2 + \zeta_1^2 \otimes \zeta_1 + \zeta_2 \otimes 1)(1\otimes \zeta_1 + \zeta_1\otimes1)\\
& = 1\otimes \zeta_2\zeta_1 + \zeta_2\zeta_1 \otimes 1 + \zeta_1^3 \otimes \zeta_1
+ \zeta_2 \otimes \zeta_1 + \zeta_1^2 \otimes \zeta_2^2 + \zeta_2 \otimes \zeta_2,
\end{align*}
por lo tanto
\begin{equation*}
d_2^{\vee}([\zeta_2\zeta_1]) = [\zeta_1^3 \vert \zeta_1 ] + [\zeta_2 \vert \zeta_1] + [\zeta_1^2 \vert \zeta_1^2] + [\zeta_1\vert \zeta_2].
\end{ecuación*}
Así vemos que nuestra clase $[\zeta_1^3 \vert \zeta_1] + [\zeta_2 \vert
\zeta_1 ] + [\zeta_1 \vert \zeta_2]$ in $\langle h_0 , h_1,
h_0\rangle$ is cohomologous to $[\zeta_1^2 \vert \zeta_1^2 ] = h_1 *
h_1 = h_1^2$ which is a non-zero class in $Ext^{1,3}$. Por más directo
el cálculo, se puede determinar que la indeterminación, que es
$h_0Ext^{2,3} + Ext^{2,3}h_0$, de la Massey producto de $\langle h_0, h_1,
h_0\rangle$ is $0$, por lo que tenemos completamente determinado.
