Si $f_n\colon [0, 1] \to [0, 1]$ son no decrecientes y $\{f_n\}$ converge punto a punto a un $f$ continuo, entonces la convergencia es uniforme.

Question

Supongamos que $\{f_n\}$ es una secuencia de funciones no decrecientes que mapean el intervalo unitario en sí mismo. Supongamos que $$\lim_{n\rightarrow \infty} f_n(x)=f(x)$$ punto a punto y que $f$ es una función continua. Demuestra que $f_n(x) \rightarrow f(x)$ uniformemente a medida que $n \rightarrow \infty$, $0\leq x\leq1$. Nota que las funciones $f_n$ no son necesariamente continuas.

Este es uno de los exámenes preliminares de UC Berkeley, la solución es la siguiente:

Como $f$ es continua en $[0,1]$, que es compacto, entonces es uniformemente continua. Por lo tanto, existe $\delta >0$ tal que si $|x-y|<\delta$ entonces $|f(x)-f(y)|<\epsilon$.

Luego dividimos el intervalo con $x_0=0, \cdots ,x_m=1$ de manera que la distancia $x_{i}-x_{i-1}$ sea menor que $\delta$.

Nota que como solo hay un número finito de $x_m$, hay un $N\in \mathbb{N}$ tal que si $n\geq N$ entonces $|f_n(x_i)-f(x_i)|<\epsilon$ donde $i=0,\cdots, m$

Ahora si $x\in[0,1]$, entonces $x\in[x_{i-1},x_i]$ para algún $i\in\{1, \cdots m\}$.

Mi pregunta es cómo usar la no decrecencia para llegar a esta desigualdad, para $n\geq N$

$f(x_{i-1})-\epsilon

Alguien por favor me puede ayudar, he estado mirando la desigualdad por aproximadamente un día. Gracias.

Answer 1

Para la primera parte de la desigualdad sabemos que hay un número natural $N$ tal que

$$n\geq N \implies |f_n(x_{i-1}) - f(x_{i-1})| < \epsilon$$

Abriendo los signos de valor absoluto, esto significa en particular que para $n \geq N$,

$$-\epsilon + f(x_{i-1}) < f_n(x_{i-1}).$$

Ahora supongamos que $x \in [x_{i-1},x_i]$. Entonces esto significa que $x_{i-1} \leq x$ y porque cada $f_n$ es no decreciente, para todos los $f_n$ tales que $n$ es suficientemente grande tenemos que

$$f_n(x_{i-1}) \leq f_n(x)$$

y así usando la primera desigualdad obtenida, tenemos que

$$f(x_{i-1}) - \epsilon < f_n(x).$$

Edición: Gracias a bobokinks ahora podemos terminar el problema. De tu desigualdad obtenemos que hay un $N \in \Bbb{N}$ tal que para todo $n \geq N$, tenemos

$$|f_n(x) - f(x_{i-1})| < 2\epsilon.$$

Antes fui un idiota y probé tonterías. Aquí está la versión correcta: Tenemos $$\begin{eqnarray*} |f_n(x) - f(x)| &<& |f_n(x) - f(x_{i-1})| + |f(x_{i-1}) - f(x)| \\ &<& 2\epsilon + \epsilon\\ &=& 3\epsilon. \end{eqnarray*}$$

La última cantidad siendo menor que $\epsilon$ proviene de la continuidad uniforme de $f$ en $[0,1]$ y del hecho de que elegimos cada $[x_{i-1},x_i]$ para ser de ancho menos que $\delta$. Dado que $\epsilon > 0$ era arbitrario, hemos demostrado que para cualquier $x \in [0,1]$, siempre y cuando $n \geq N$ tenemos $f_n \longrightarrow f$ uniformemente.

Answer 2

BenjaLim ya ha tratado con la primera mitad de la desigualdad. Para la segunda mitad, nota

$$f_n(x)-f(x_{i-1})\leq f_n(x_i)-f(x_{i-1})= (f_n(x_i)-f(x_i))+(f(x_i)-f(x_{i-1}))<\epsilon+\epsilon=2\epsilon.$$