Supongamos que $\{f_n\}$ es una secuencia no decreciente de funciones que se asignan a la unidad de intervalo en sí mismo. Supongamos que $$\lim_{n\rightarrow \infty} f_n(x)=f(x)$$ pointwise and that $f$ is a continuous function. Prove that $f_n(x) \rightarrow f(x)$ uniformly as $n \rightarrow \infty$, $0\leq x\leq1$. Note that the functions $f_n$ no son necesariamente continuas.
Este es uno de el examen preliminar de la universidad de Berkeley, la solución va como esto:
Debido a $f$ es continua en a $[0,1]$, que es compacto, entonces es uniformemente continua. Por lo tanto, no existe $\delta >0$ que si $|x-y|<\delta$$|f(x)-f(y)|<\epsilon$.
Tenemos entonces la partición del intervalo de con $x_0=0, \cdots ,x_m=1$ de manera tal que la distancia $x_{i}-x_{i-1}$ es de menos de $\delta$.
Tenga en cuenta que dado que sólo hay un número limitado de $x_m$, $N\in \mathbb{N}$ que si $n\geq N$ $|f_n(x_i)-f(x_i)|<\epsilon$ donde $i=0,\cdots, m$
Ahora si $x\in[0,1]$, $x\in[x_{i-1},x_i]$ algunos $i\in\{1, \cdots m\}$.
Mi pregunta es cómo utilizar la nondecreasingness para llegar a esta desigualdad, por $n\geq N$
$f(x_{i-1})-\epsilon<f_n(x)<f(x_{i-1})+2\epsilon$
Por favor alguien puede ayudar, he estado mirando la desigualdad por un día ahora. Gracias.
