Estoy estudiando un argumento de forzamiento que produce una extensión genérica en la que GCH se mantiene, pero estoy, un poco avergonzado, atascado en un detalle menor. Espero que alguien pueda indicarme lo que me falta.
Dejemos que $P_\alpha=\mathrm{Fn}(\beth_\alpha^+,\beth_{\alpha+1},\beth_\alpha^+)$ sean las nociones de colapso de Lévy. Denotemos por $P$ su producto Easton sobre todos los ordinales $\alpha$ Cada elemento de $P$ es una función $p$ definido en algún subconjunto de los ordinales, de modo que $p(\alpha)\in P_\alpha$ para todos $\alpha$ y $$|\{\alpha<\gamma;p(\alpha)\neq\emptyset\}|<\gamma$$ se mantiene para todos los cardenales regulares $\gamma$ . Pida $P$ por coordenadas. Además, para cualquier $\alpha$ definir $$P^{>\alpha}=\{p|_{\{\beta;\beta>\alpha\}};p\in P\}$$ como la clase de restricciones de elementos de $P$ a los ordinales, mayor que $\alpha$ (no te alarmes de que estas cosas sean clases propias; realmente no importa en este momento).
Me han dicho que $P^{>\alpha}$ es $\beth_{\alpha+1}$ -cerrado (como diría Jech, o $\leq\beth_{\alpha+1}$ -cerrado, como diría Kunen). Así que tomemos $\mu\leq\beth_{\alpha+1}$ y una descendente $\mu$ -secuencia $(q_\xi)_{\xi<\mu}$ y definir $q$ en $\bigcup_{\xi<\mu}\mathrm{dom}(q_\xi)$ por $q(\beta)=\inf_{\xi<\mu} q_\xi(\beta)$ donde la existencia del infimo en $P_\beta$ está garantizado por el hecho de que $P_\beta$ es $\beth_\beta$ -cerrado. Para $q$ para ser un límite inferior para nuestra secuencia, tenemos que comprobar la condición de soporte mencionada anteriormente. Si tomamos una $\gamma$ tenemos $$|\{\beta<\gamma;q(\beta)\neq\emptyset\}|= \left|\bigcup_{\xi<\mu}\{\beta<\gamma;q_\xi(\beta)\neq\emptyset\}\right|$$
Aquí es donde me confundo. Ciertamente, $\gamma$ puede tomarse mayor que $\alpha$ . Además, como $\gamma$ es regular, si también tenemos $\mu<\gamma$ la unión anterior tiene una cardinalidad estrictamente menor que $\gamma$ y obtenemos lo que queremos. Lo que me preocupa es lo que ocurre cuando $\gamma\leq\mu$ . Esto no parece del todo correcto, así que sospecho que he metido la pata en algo al configurar la prueba.
