¿Por qué se cierra esta noción de forzamiento?

Question

Estoy estudiando un argumento de forzamiento que produce una extensión genérica en la que GCH se mantiene, pero estoy, un poco avergonzado, atascado en un detalle menor. Espero que alguien pueda indicarme lo que me falta.

Dejemos que $P_\alpha=\mathrm{Fn}(\beth_\alpha^+,\beth_{\alpha+1},\beth_\alpha^+)$ sean las nociones de colapso de Lévy. Denotemos por $P$ su producto Easton sobre todos los ordinales $\alpha$ Cada elemento de $P$ es una función $p$ definido en algún subconjunto de los ordinales, de modo que $p(\alpha)\in P_\alpha$ para todos $\alpha$ y $$|\{\alpha<\gamma;p(\alpha)\neq\emptyset\}|<\gamma$$ se mantiene para todos los cardenales regulares $\gamma$ . Pida $P$ por coordenadas. Además, para cualquier $\alpha$ definir $$P^{>\alpha}=\{p|_{\{\beta;\beta>\alpha\}};p\in P\}$$ como la clase de restricciones de elementos de $P$ a los ordinales, mayor que $\alpha$ (no te alarmes de que estas cosas sean clases propias; realmente no importa en este momento).

Me han dicho que $P^{>\alpha}$ es $\beth_{\alpha+1}$ -cerrado (como diría Jech, o $\leq\beth_{\alpha+1}$ -cerrado, como diría Kunen). Así que tomemos $\mu\leq\beth_{\alpha+1}$ y una descendente $\mu$ -secuencia $(q_\xi)_{\xi<\mu}$ y definir $q$ en $\bigcup_{\xi<\mu}\mathrm{dom}(q_\xi)$ por $q(\beta)=\inf_{\xi<\mu} q_\xi(\beta)$ donde la existencia del infimo en $P_\beta$ está garantizado por el hecho de que $P_\beta$ es $\beth_\beta$ -cerrado. Para $q$ para ser un límite inferior para nuestra secuencia, tenemos que comprobar la condición de soporte mencionada anteriormente. Si tomamos una $\gamma$ tenemos $$|\{\beta<\gamma;q(\beta)\neq\emptyset\}|= \left|\bigcup_{\xi<\mu}\{\beta<\gamma;q_\xi(\beta)\neq\emptyset\}\right|$$

Aquí es donde me confundo. Ciertamente, $\gamma$ puede tomarse mayor que $\alpha$ . Además, como $\gamma$ es regular, si también tenemos $\mu<\gamma$ la unión anterior tiene una cardinalidad estrictamente menor que $\gamma$ y obtenemos lo que queremos. Lo que me preocupa es lo que ocurre cuando $\gamma\leq\mu$ . Esto no parece del todo correcto, así que sospecho que he metido la pata en algo al configurar la prueba.

Answer 1

(Recopilado del hilo de comentarios anterior)

Si miras la sugerencia de Jech, verás que el requisito similar al de Easton en el producto es sólo para los inaccesibles $\gamma$ . Además, para verificar $\beth_{\alpha+1}$ -Cierre sólo hay que tener en cuenta $\mu = \beth_{\alpha+1}$ . Así que ahora, si $\gamma < \beth_{\alpha+1}$ la unión creciente $\bigcup_{\xi < \beth_{\alpha+1}}\{\beta < \gamma | q_\xi(\beta)\neq \emptyset\}$ debe estabilizarse, por lo que tiene un tamaño inferior a $\gamma$ . $\gamma = \beth_{\alpha+1}$ nunca sucede porque $\gamma$ es inaccesible. Así que eso es todo.

El requisito de Easton en este caso es diferente al habitual. La mejor manera de ver la analogía entre este requisito de Easton y el habitual es volver a indexar las nociones de forzamiento aquí: Definir $P_{\beth_\alpha}$ para ser el colapso de Levy de $\beth_{\alpha+1}$ y $P_\beta$ sea trivial si $\beta$ no es un $\beth$ -Número. Entonces el requisito apropiado de Easton aquí es el habitual, pero el único $\gamma$ para el que este requisito hace algo es cuando $\gamma$ es inaccesible.