Puede $n!$ sea un cuadrado perfecto cuando $n$ es un número entero mayor que $1$ ?

Question

Puede $n!$ sea un cuadrado perfecto cuando $n$ es un número entero mayor que $1$ ?

Evidentemente, cuando $n$ es primo, $n!$ no es un cuadrado perfecto porque el exponente de $n$ en $n!$ es $1$ . Lo mismo ocurre cuando $n-1$ es primo, considerando el exponente de $n-1$ .

¿Cuál es la respuesta para un valor general de $n$ ? (Y es posible, demostrar sin el postulado de Bertrand. Porque el postulado de Bertrand es un resultado bastante fuerte).

Answer 1

Supongamos, $n\geq 4$ . Por el postulado de Bertrand existe un primo, llamémoslo $p$ tal que $\frac{n}{2}<p<n$ . Supongamos, $p^2$ divide $n$ . Entonces, debería haber otro número $m$ tal que $p<m\leq n$ tal que $p$ divide $m$ . Así que, $\frac{m}{p}\geq 2$ entonces, $m\geq 2p > n$ . Esto es una contradicción. Así que, $p$ divide $n!$ pero $p^2$ no lo hace. Así que, $n!$ no es un cuadrado perfecto.

El postulado de Bertrand

Eso deja dos casos más. Comprobamos directamente que, $2!=2$ y $3!=6$ no son cuadrados perfectos.

Answer 2

Hay un primo entre n/2 y n, si no me equivoco.

Answer 3

Espero que esto sea un poco más intuitivo (aunque bastante más largo) que las otras respuestas aquí arriba.

Empecemos por afirmar un hecho simple: (1) cuando se factoriza en su factorización prima, cualquier cuadrado perfecto tendrá un número par de cada factor primo.

Si $n$ es un número primo, entonces $n$ no se repetirá en ninguno de los otros factores de $n!$ , lo que significa que $n!$ no puede ser un cuadrado perfecto (1). Considere si $n$ es compuesto. $n!$ contendrá al menos dos factores primos ( $n=4$ es el número compuesto más pequeño que califica las restricciones), así que llamemos a $p$ el mayor factor primo de $n!$

La única manera de que $n!$ puede ser un cuadrado perfecto es si $n!$ contiene $p$ y un segundo múltiplo de $p$ (1). Obviamente, este múltiplo debe ser mayor que $p$ y menos de $n.$

Utilizando el postulado de Bertrand, sabemos que existe un número primo adicional, digamos $p'$ , de tal manera que $p < p' < 2p$ . Porque $p$ es el mayor factor primo de $n!$ sabemos que $p' > n$ (Si fuera lo contrario, entonces llegaríamos a una contradicción).

De ello se desprende que $2p > p' > n$ . Porque $2p$ es el menor múltiplo de $p$ y $2p > n$ entonces $n!$ sólo contiene un factor de $p$ . Por lo tanto, es imposible que $n!$ para ser un cuadrado perfecto.

Answer 4

• Si $n$ es primo, entonces para $n!$ para ser un cuadrado perfecto, uno de $n-1, n-2, ... , 2$ debe contener n como factor. Pero esto significa que uno de $n-1, n-2, ... , 2 \geq n$ , lo cual es imposible.

• Si $n$ no es primo, entonces el primer primo menor que $n$ será $p = n-k$ , $0<k<n-1, 2\leq p<n$ . Ningún número inferior a $p$ contendrá $p$ como factor, por lo que para $n!$ para ser un cuadrado perfecto debe existir un múltiplo de $p$ Lo llamaré $bp$ , $1<b<n,$ tal que $p<bp\leq n$ . Ahora según el teorema de chebyshev para cualquier no. $p$ existe un número primo entre $p$ y $2p.$ por lo que si $r< n < 2r$ y también $p<n$ , por lo que tal $n!$ nunca sería un cuadrado perfecto. Espero que esto ayude.

Puede consultar este .

Answer 5

Tu afirmación tiene una generalización. Hay un trabajo de Erdos y Selfridge que afirma que el producto de al menos dos números naturales consecutivos nunca es una potencia. Aquí está: https://projecteuclid.org/euclid.ijm/1256050816 .