Cómo caracterizar la red de convergencia en la topología final?

Question

Dado un conjunto $X$ y un índice de familia $\{(Y_i,\mathscr T_i)\}_{i\in I}$ de los espacios topológicos con funciones de $f_i:Y_i\to X$. Deje $\tau_{\text{final}}$ ser el final de la topología en $X$ w.r.t. $\{f_i\}_{i\in I}$, es decir, es la mejor topología de tal manera que cada $f_i:(Y_i,\mathscr T_i)\to (X,\tau_{\text{final}})$ es continua.

Ahora condiser una neto $\{x_\alpha\}_{\alpha\in A}\subset X$. La pregunta es ¿cómo caracterizar la convergencia de la red $\{x_\alpha\}_{\alpha\in A}$$(X,\tau_{\text{final}})$?

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Es fácil llegar a la siguiente caracterización de la red de convergencia en la topología inicial:

Dada una familia de funciones de $g_i:X\to Y_i$, vamos a $\tau_{\text{initial}}$ ser la topología inicial w.r.t. $\{g_i\}_{i\in I}$, es decir, es el más áspero de la topología de tal manera que cada $g_i:(X,\tau_{\text{initial}})\to (Y_i,\mathscr T_i)$ es continua. A continuación, la neta $\{x_\alpha\}_{\alpha\in A}\to x$ $(X,\tau_{\text{initial}})$ si y sólo si para todos $i\in I$, $\{g_i(x_\alpha)\}_{\alpha\in A}\to g_i(x)$ en $(Y_i,\mathscr T_i)$.

Así que es allí cualquier análogo de la caracterización de topología final? Cualquier comentario o sugerencias será apreciada!

Answer 1

No hay una sencilla caracterización de cuando una red converge en la topología final. En particular, podría decirse que el caso más simple es cuando tu familia se compone de un único espacio de $Y$ con un surjective mapa de $f:Y\to X$. En ese caso la topología final es simplemente el cociente de la topología, pero no hay ninguna descripción sencilla de una red converge en el cociente de la topología en términos de la convergencia de redes de deriva en el espacio original. Para obtener ejemplos de cómo algunos ingenuos conjeturas pueden ir mal, usted puede estar interesado el post de Elevación convergente red a través de un cociente mapa.

Para dar un poco más de una perspectiva más amplia, la convergencia de una red en un espacio de $X$ es equivalente a la continuidad de un cierto mapa de $I\to X$ durante un cierto espacio de $I$ (ver esta respuesta de la mina). La topología inicial es un tipo de límite en la categoría de topogical espacios, y de los mapas en un límite se caracteriza por una característica universal y para la convergencia de redes en un límite de espacio tiene una simple caracterización. Por otro lado, la topología final es un colimit, y no hay ninguna característica universal de los mapas en un colimit (en lugar de la característica universal es para los mapas fuera de él). Así que no sería de extrañar que no es agradable caracterización de la convergencia de redes en un colimit.