Aquí está la prueba de mis notas de clase de que si tienes dos conjuntos contables $A$ y $B$ se puede hacer otro conjunto contable $A \times B$ de ellos.
Dejemos que $A$ y $B$ sean conjuntos contables. Sea $f : A \rightarrow \mathbb{N}$ y $g : B \rightarrow \mathbb{N}$ sea inyectiva. Afirmación: $A × B$ es contable. Prueba: Definir $h: A × B \rightarrow \mathbb{N}$ por $h(a, b) = 2^{f(a)+1}3^{g(b)+1}$ para $a \in A $ y $ b \in B$ . Entonces la unicidad de la factorización en $\mathbb{N}^{>0}$ implica $h$ es inyectiva.
Creo que entiendo la mayor parte de esto, pero lo que no entiendo es por qué no se puede dejar $h(a, b) = 2^{f(a)}3^{g(b)}$ ? Si $f(a) = g(b) = 0$ entonces $h(a,b) = 1 \in \mathbb{N}$ que está bien, si cualquiera de los dos $f(a) = 0$ o $g(b) = 0$ pero no ambos, entonces $h(a,b) = 2^{f(a)} \in \mathbb{N}$ o $h(a,b) = 2^{g(b)} \in \mathbb{N}$ y ambos están definidos de forma única, por lo que sigue siendo inyectiva. Así que no veo la necesidad de tener $+1$ en los poderes?
¿Podría alguien explicar esto?
Gracias.
