La búsqueda de dos funciones analíticas

Question

Quiero encontrar dos funciones analíticas (el primero es analítica en la mitad superior del plano de la segunda en la mitad inferior del plano) $f_+(z)$ $f_-(z)$ que satisfacer $f_+(x)-f_-(x)=\frac{1-\cos x}{x}$ $f_{+-}(x)=\lim_{\epsilon\rightarrow 0}f_{+-}(x+-i\epsilon)$ $x\in\mathbb R$

Cuál es la mejor manera de comenzar con este tipo de problemas? Integrar la RHS a través de un ambiente de contorno y a ver si esta me da algo?

EDIT: quiero resolver este problema con el fin de tener una idea de cómo resolver la integral de la ecuación de $f(x)+\frac{\alpha}{i\pi}P.V\int_{-\infty}^{\infty}\frac{f(\xi)}{\xi-x}d\xi=\frac{1-\cos x}{x}$ donde $\alpha$ es una constante diferente que +-1 e $f(x)=f_+(x)-f_-(x), \frac{1}{i\pi}P.V\int_{-\infty}^{\infty}\frac{f(\xi)}{\xi-x}d\xi=f_+(x)+f_-(x)$

Answer 1

A menos que haya algo que echo de menos, las funciones $$ f_+(z)=\frac{1-\cos z}{2z}\quad \text{y}\quad f_-(z)=-\frac{1-\cos z}{2z}, $$ ambos son toda la analítica, y $$ f_+(x)-f_-(x)=\frac{1-\cos x}{x}, $$ para cada $x\in\mathbb R$.