Hay un análogo Beilinson-Bernstein localización para cuantificada álgebra envolvente

Question

Soy totalmente novato en este campo. Me pregunto saber si hay apropiado de la noción de quantum de la bandera variedad de finito dimensionales Mentira álgebra. Si es así, ¿cuál es el corresponsal de la noción de "quantum diferencial de operador en este quantum de la bandera de la variedad". Si tales nociones existe. Creo que debe haber algún tipo de quantum análogo de la Beilinson-Bernstein localización para quantum grupo (o cuantificado envolvente álgebra)?

La segunda pregunta se relaciona con la preguntaD-módulo de teoría de Scott Carnahan mencionó que la categoría de D-módulo puede ser tomado como categoría de cuasi coherente poleas en DeRham de la pila. Así que, si no sale "cuántico D-módulo". Entonces en este caso, la categoría de D-módulo puede ser tomado como categoría de cuasi coherente poleas en "cuantificada" DeRham pila? ¿Cómo podemos definir el cuantificada DeRham pila? O, más en general, existe una adecuada noción de "cuantificada" pila?

Answer 1

Sí, existe el resultado de cuantificada envolvente de álgebra. Es desarrollado por Lunts-Rosenberg y demostrado por ellos y Tanisaki.

Hay varios conceptos:

1. cuantizado bandera variedad
2. cuántico D-módulo.

En el marco de la no conmutativa la geometría algebraica. cuantizado bandera variedad se define como un no conmutativa proyectiva esquema. Es un proyec-categoría de cuantificada envolvente álgebra álgebra de Lie g. Es un no conmutativa separados esquema afín cubre descubierto por A. José.

Lunts y Rosenberg definido cálculo diferencial en no conmutativa la geometría algebraica. Ellos introdujeron el no conmutativa la versión de Grothendieck operadores diferenciales en el diferencial de operador, no conmutativa anillo y luego se aplica esta construcción para definir cuantificada D-módulos de localización para quantum grupo. En este trabajo, se formuló el cuantificada Beilinson Bernstein localización para cuantificada envolvente álgebra en el caso genérico. Se demostró la sección global functor es exacta y conjeturó que es la correcta versión cuantizada, es decir, un equivalente.

Más tarde, bajo este marco. Tanisaki demostrado en su papel de La Beilinson-Bernstein correspondencia para cuantificada envolvente álgebras de que la conjetura de Lunts-Rosenberg es cierto. Por otra parte, Tanisaki demostró este resultado en la raíz de la unidad del caso,véase el D-módulos en cuantificada de la bandera de colectores en las raíces de 1.

Más comentarios: En el papel de Lunts-Rosenberg, se señala la localización de la cuántica grupo sl2 fue construido por la "mano" por T. J. Hodges.

Answer 2

Sí, es discutido en este trabajo de Backelin y Kremnitzer.

Answer 3

[Edit: se ha quitado una atribución después de Shizhuo la corrección]

Kremnizer dio un buen curso donde trabajó a través de los ejemplos de G=SL_2, G/B=CP^1 en todo detalle. Tengo algunas incompleta notas si quieres enviarme un correo electrónico (prefiero no publicar en línea ya que todavía están siendo revisados).

Para responder a su pregunta brevemente sobre lo que es la noción cuántica de los operadores diferenciales son para la bandera de la variedad, aquí un esbozo:

1) en Primer lugar, definir cuántica diferencial de los operadores en G. Esto se hace mediante la construcción de los llamados Heisenberg doble (sólo otro nombre en esta situación específica para la semi-producto directo, también llamado smash prodcut) D(U_q,O_q) de la cuántica grupo U_q con su doble álgebra de Hopf O_q, donde U_q actúa sobre O_q por la izquierda por acción (X. f)(y):=f(S(X), y), aquí X es la antípoda.

2) O_q(G) tiene una sub-álgebra llamado O_q(B) que es una cuantización de las funciones de la Borel.

3) En lo suficientemente agradable casos en geometría algebraica, uno puede identificar a D(X/G)-módulos donde X es una variedad con G-acción como D(X)-módulos M, junto con una O(G) co-acción, y una compatibilidad de la condición. El caso G/B es una situación clásica, por lo que uno define D_q(G/B)-módulos D_q(G)-módulos con un O_q(B) co-acción plus de compatibilidad.

Por cierto, hay algunos documentos de Varagnolo y Vasserot, en particular http://arxiv.org/abs/math/0603744que discutir D_q(G) y puede presentar a algunos de los trucos del uso de la gente de la zona.