Son suaves las funciones de los innumerables suma continua?

Question

Considerar el espacio lineal $\sum_{\mathbb{R}} \mathbb{R}$. Como en el Frolicher-Kriegl-Michor vista, podemos hacer de esto un Frolicher espacio de la siguiente manera.

1. Equipar con las localmente convexo de la topología de la colimit. Específicamente, se le da los mejores localmente convexo topología de modo que todas las inclusiones de finito de sumandos son continuas. Lo importante es que una de las funciones lineales $\phi \colon \sum_{\mathbb{R}} \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es continua si y sólo si su restricción a cualquier finito sumando es continua. Por lo tanto todos los funcionales lineales $\sum_{\mathbb{R}} \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ son continuas. Nota técnica: con esta topología, es completo.

2. Ahora definir la familia de curvas suaves a ser las curvas de $c \colon \mathbb{R} \to \sum_{\mathbb{R}} \mathbb{R}$ con la propiedad de que $\psi \circ c \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es suave para todos los $\psi \in \prod_{\mathbb{R}} \mathbb{R}$ (es decir, por todo continuo, lineal mapas de $\psi : \sum_{\mathbb{R}} \mathbb{R} \to \mathbb{R}$). Tenga en cuenta que las curvas no se supone que ser continuo (a pesar de que va a ser).

3. Ahora definir la familia de lisa de las funciones de los $f \colon \sum_{\mathbb{R}} \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ que $f \circ c \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es suave para todas las curvas suaves $c$. De nuevo, suave funciones no se supone que ser continuo.

He aquí la pregunta: ¿todas las funciones lisas continua?

Si tomamos un contable suma entonces esto sería cierto. Para los innumerables productos, Kriegl y Michor show (Ejemplo 4.8, pp37-38 de Un Cómodo Ajuste de Análisis Global) que esto no es cierto. Así que sospecho que la respuesta es falsa, pero no sé si es conocido o no.

Answer 1

No todas las funciones lisas son continuas. Es un hecho de la Frölicher−Kriegl−Michor teoría de que delimitadas multilineal mapas son lisas. Por ejemplo, la canónica bilineal de evaluación $E\times E'\to\mathbb R$ $(x,u)\mapsto u(x)$ es acotado, por lo tanto suave, pero discontinuo cuando $E=\sum_{\mathbb R}\mathbb R$. Yo también rápidamente pensé que esto se iba a dar a la necesaria suave discontinuo mapa como un compuesto de $E\to E\times E\to E\times E'\to\mathbb R$.

El uso de Jarchow la notación, y en vez de usar el conexión teniendo en cuenta el espacio de $F=\mathbb R^{\ \mathbb N}\times\mathbb R^{\ (\mathbb N)}=\prod_{\mathbb N}\mathbb R\times\sum_{\mathbb N}\mathbb R$ , entonces uno tiene el Frölicher−Kriegl suave discontinuo mapa de $F\to\mathbb R$$(x,y)\mapsto\sum_{i\in\mathbb N}(x_i\cdot y_i)$ .

Cabe señalar que esta discontinuidad es con respecto al localmente convexo de la topología. Frölicher−Kriegl suave mapas son siempre continuas con respecto a la Mackey−cierre de la topología de cuyos bloques abiertos son precisamente las $U\subseteq F$ tal que para cada a $x\in U$ y cada conjunto acotado $B$ $F$ hay$\varepsilon>0$$\varepsilon B\subseteq U-x$ .

El Frölicher−Kriegl teoría es esencialmente un bornological teoría. Se puede observar que en Frölicher y Kriegl del libro uno utiliza un canónica de la topología correspondiente a la bornology, es decir, el más fuerte, bornological uno, mientras que en Kriegl y Michor del libro permite que cualquier localmente convexa de la topología con el mismo delimitada conjuntos. En este sentido, el KM−acercamiento a la suavidad es un poco de disquete desde los espacios topológicos, pero bornology es el único que importa.