Secuencia de Cauchy que No Converge

Question

¿Cuáles son algunos buenos ejemplos de secuencias que son de Cauchy, pero no convergen?

Quiero un ejemplo de una secuencia en el espacio métrico $X = \mathbb{Q}$,$d(x, y) = |x - y|$. Y, preferiblemente, sin el uso de la serie.

Answer 1

Otro, con la misma idea: $$ a_n = \left(1+\frac{1}{n}\right)^n $$ una secuencia de racionales, pero su límite de $e$ no es racional.

Answer 2

Si usted no está casado con el uso de los racionales, yo sugeriría también utilizando el intervalo abierto $(-1,1)$. Aquí usted puede tomar la secuencia de $( 1 - \frac{1}{n} )_{n=1}^\infty$, y la nota (rápidamente) que es de Cauchy y que debe converger a $1$, que por supuesto no es en $(-1,1)$.

La línea de golpe-si se la puede llamar así-es que $(-1,1)$ es homeomórficos a toda la recta real $\mathbb{R}$, lo que significa que tienen la misma estructura topológica.

Esto nos dice que es la métrica que nos dice si una sucesión es de Cauchy o no, y no es una propiedad de la topología solo. Y hay métricas en $(-1,1)$ compatible con la topología en la que la mencionada secuencia no es de Cauchy; un ejemplo podría ser $$\rho (x,y) = | \tan (\frac{\pi x}{2} ) - \tan (\frac{\pi y}{2}) |.$$

Answer 3

Una manera bastante fácil ejemplo que hace que no surgen directamente de la expansión decimal de un número irracional es dada por $$a_n=\frac{F_{n+1}}{F_n}$$ for $n\ge 1$, where $F_n$ is the $n$-th Fibonacci number, defined as usual by $F_0=0$, $F_1=1$, and the recurrence $F_{n+1}=F_n+F_{n-1}$ for $n\ge 1$. It's well known and not especially hard to prove that $\langle a_n:n\in\Bbb Z^+\rangle\a\varphi$, where $\varphi$ is the so-called golden ratio, $\frac12(1+\sqrt5)$.

Otro está dado por la siguiente construcción. Deje $m_0=n_0=1$, y para $k\in\Bbb N$ deje $m_{k+1}=m_k+2n_k$$n_{k+1}=m_k+n_k$. A continuación, para $k\in\Bbb N$ vamos $$b_k=\frac{m_k}{n_k}$$ to get the sequence $$\left\langle 1,\frac32,\frac75,\frac{17}{12},\frac{41}{29},\dots\right\rangle\;;$$ it's a nice exercise to show that this sequence converges to $\sqrt2$.

En realidad, son instancias de una fuente de ejemplos, las secuencias de convergents de la continuación de la fracción expansiones de irrationals son otra buena fuente de ejemplos; los periódicos, como este, son probablemente más fácil.

Answer 4

Usted toma cualquier número irracional, decir $\sqrt2$, y que considere la posibilidad de su expansión decimal, $$ \sqrt2=1.4142\ldots $$ A continuación, se definen $x_1=1$, $x_2=1.4$, $x_3=1.41$, $x_4=1.414$, etc.

Answer 5

He aquí otra, bien conocido, ejemplo: supongamos $b>0$. Tome $a_1>0$ racional y definir $a_{n+1}={1\over2}(a_n+{b\over a_n})$. Uno puede mostrar que esta secuencia está delimitado por debajo y, finalmente, monótona decreciente. De esto se sigue que $(a_n)$ converge a $\sqrt b$.

Tomando $b$ primo, por ejemplo, da una secuencia de números racionales que converge a un número irracional.