No entiendo ¿cuál es la ventaja de la visualización de una categoría en particular, como una categoría de los módulos a través de algunos de anillo. ¿Alguien puede decirme alguna aplicación de Mitchell incrustación teorema de modo que yo pueda entender la fecundidad de este teorema? Gracias.
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Jeff
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La incrustación por el teorema de Freyd-Mitchell (FM) es interesante por derecho propio. Ofrece una clasificación local de abelian categorías. Escribo local de aquí, porque la FM sólo se refiere a las pequeñas abelian categorías, y muchos interesantes abelian categorías no son esencialmente pequeños. Pero esta clasificación local puede ser un poco sobrevalorado:
En mi opinión es una exageración para probar todos los habituales diagrama de lemas FM, debido a que hay más directa y accesible a pruebas de trabajo con generalizada de los elementos, lo que me parece más elegante porque utilizamos la estructura del resumen directamente, y no tenemos que lidiar con el caso de los módulos por separado. En su lugar hemos de observar que la prueba para los módulos funciona exactamente de la misma manera para cada abelian categoría. Las mismas observaciones se aplican a otros aspectos de la teoría, por ejemplo, derivados functors y espectral de las secuencias. Cuando la lectura a través de textos de álgebra homológica, tales como el libro de Weibel, a menudo elemento cálculos se justifican con FM. Pero en lugar de eso, deberíamos entender que abelian categorías son precisamente las categorías abstractas que funcionan de la misma manera como módulo de categorías. No necesitamos utilizar FM para que. Cuando se trabaja con determinados abelian categorías, es importante entender y manipular sus objetos y morfismos directamente.
Uno de los principales puntos de la categoría de la teoría consiste en ignorar el elemento de negocio procedentes de (en mi opinión, a la vieja usanza) fundaciones como ZFC y trabajar con morfismos en su lugar. Esto revela la verdadera naturaleza de los objetos matemáticos. El consecuente uso de propiedades universales, a menudo ofrece una línea de pruebas de lo que más se necesita toda una página de torpe elemento cálculos (un ejemplo típico es el derecho de la exactitud del producto tensor, todavía no se tratan de manera concisa, en la mayoría de los libros de texto). La filosofía por lo general deriva de FM ("cada abelian categoría puede ser visto como una categoría de los módulos y los módulos son conjuntos con más estructura, de manera que podemos utilizar elementos") es un poco engañoso, porque hay un montón de abelian categorías cuya integración en cualquier categoría de módulos sería artificial e inútil (por ejemplo, la categoría de abelian poleas en un espacio). Finalmente, aunque la prueba de FM explícitamente produce el anillo de $R$ por un abelian categoría $\mathcal{A}$ y la incrustación $\mathcal{A} \hookrightarrow \mathsf{Mod}(R)$, este anillo de $R$ es terriblemente grande e inútil en la mayoría de los casos.
Además, hay un montón de interesantes estructuras adicionales en abelian categorías, y no es clara, o incluso mal si hay alguna incrustación de resultado para ellos. Véase también el MO/32173 y MO/47342. Hay un preprint arXiv:matemáticas/0004160 que tiene una incrustación teorema de abelian tensor de categorías, pero esto tiene algunos errores graves.
Dudo que haya algún resultado interesante acerca de abelian categorías cuya prueba realmente necesita FM. Al menos esa es mi impresión.
Por último, permítanme esbozar qué es tan especial (o no) sobre el módulo de categorías: Si $R$ es un anillo, entonces $R \in \mathsf{Mod}(R)$ es un distinguido objeto con tres bonitas propiedades: 1) se trata de un generador, lo que significa que $\hom(R,-)$ es fiel. 2) es proyectiva, lo que significa que $\hom(R,-)$ es exacta. 3) es compacto, lo que significa que $\hom(R,-)$ conserva (infinito) co-productos. Por el contrario, cada abelian categoría de co-productos y proyectiva generador compacto $G$ es canónicamente equivalente a $\mathsf{Mod}(R)$ donde $R:=\mathrm{End}(G)$. A pesar de que muchos interesantes abelian categorías no son equivalentes a los del módulo de categorías, que tienen al menos algunos generador de $G$. De ello se desprende que cada objeto $M$ encaja en una secuencia exacta $G^{\oplus I} \to G^{\oplus J} \to M \to 0$. Esto generaliza la idea de la libertad de las resoluciones. De hecho Grothendieck categorías proporcionan un buen marco para el álgebra homológica.
Módulo de categorías están muy bien estudiados. Mediante la incorporación de otra categoría en algunos $R-\text{Mod}$, se puede aplicar el conocimiento y las técnicas que usted conozca y para $R$-módulos para el estudio de otras categorías.
por ejemplo, usted puede hacer el diagrama de perseguir a los argumentos sin tener que desarrollar una verdadera teoría generalizada de elementos (o de acuerdo con sus peculiaridades)
