Secciones de un divisor de curva elíptica

Question

Estoy interesado en la producción de explícito bases para las secciones de una línea de paquete integrado de género 1 de la curva. Permítanme restringir el primer caso en que no sé cómo hacer, para que yo pueda ser lo más concreto posible. Tomar una suave género 1 curva E definido sobre QQ con un explícito cúbicos ecuación C₀ en Q[x,y,z]. Deja D ser un divisor de grado 6 en E, y I_D ser definido por cuatro ecuaciones cúbicas (C₀,C₁,C₂,C₃). Tenga en cuenta que D no se encuentran en cualquier cónica. Riemann-Roch dice que h^0(E,O_E(D)=6, y me gustaría encontrar una explícita base de funciones racionales para este espacio vectorial. ¿Cómo puedo encontrar una base?

Tenga en cuenta que si D se sentó en una cónica definida por P, entonces el encontrar una base es relativamente fácil: simplemente se podía elegir las funciones x^2/P, xy/Q, ..., z^2/Q como nuestras funciones racionales.

Answer 1

Para un ejemplo claro yo creo que el Magma puede hacer esto: echa un vistazo a la esta parte de la documentación.

Answer 2

Yo creo que no sé cómo responder a esta ahora. El punto principal es que O_E(D) es el dual de la I_D. A saber: O_E(D)=sheafHom(I_D, O_E). Por Lo Tanto, H^0(E,O_E(D)=Hom(I_D, O_E).

Esto puede ser calculada de forma explícita en ninguna de álgebra computacional paquete. O usted puede ver cómo se calcula de la siguiente manera. Tomar una presentación gratuita de I_D como S_E-módulo. En el caso de que se me pregunta, esta se obtiene:

S_E³(-4)-->O_E³(-3)-->ME_D.

Etiqueta el primer mapa de F. Entonces Hom(I_D, O_E) es sólo el núcleo del mapa de libre módulos:

Hom(O_E³(-3), O_E)--> Hom(O_E³(-4), O_E)

inducida por la composición con F. por Lo tanto, el cálculo de una presentación gratuita de la ideal gavilla I_D rendimientos de una presentación de H^0(E,O_E(D)) como el núcleo de un mapa de la libre módulos.

Answer 3

Me gustaría probar a jugar con las funciones racionales de la forma xⁿ/P₁P₂, quizás ellos forman una gran parte de la base?

Answer 4

Deje que H sea un hyperplane sección de su cúbicos y deje x ser uno de los tres no trivial mitades de D-2H en Pic^0(X). Si incrusta E en el sistema lineal |H+x|, entonces D ahora está sentado un una cónica; todo lo que usted necesita es un cúbicos de extensión de campo.