Modo de

Question

He estado estudiando un libro de texto de estadística que hace una reclamación que la distribución de $\chi^2$ $k$ grados de libertad tiene un modo de $k - 2$ sin pruebas. (Wikipedia parece estar de acuerdo) ¿Por qué es esto? ¿Hay alguna forma geométrica o algebraica incluso, para entender esta afirmación?

Answer 1

El pdf de una $\chi^2_k$ distribución es, $$f(x) = 2^{-k/2} \Gamma{(k/2)}^{-1} x^{k/2 - 1}e^{-x/2}.$$

Necesitamos encontrar a $x^*$ tal que $x^* = \arg \max_\limits{x > 0} f(x)$. A continuación, $x^*$ es el modo. Tenga en cuenta que $\arg \max_\limits{x > 0} f(x) = \arg \max_\limits{x > 0} \log f(x)$, por lo que vamos a encontrar el modo de maximizar el registro de la pdf en lugar de maximizar el pdf (esto resulta más fácil).

$$\begin{align*} \log f(x) &= -\dfrac{k}{2} \log 2 - \log \Gamma(k/2) + \left(\dfrac{k}{2} - 1 \right) \log x - \dfrac{x}{2}\\ \dfrac{\log f(x)}{dx} &= \left(\dfrac{k}{2} - 1 \right) \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{2} \overset{set}{=} 0\\ \Rightarrow x^* &= k-2 \end{align*}$$

Así, tenemos que el modo es $x^* = k-2$. Si $k \leq 2$, entonces el modo de es $0$, puesto que el $\chi^2$ pdf en ese caso es la disminución en los aspectos positivos.

EDIT: Para comprobar que la segunda derivada es negativa, mira @MatthewGunn del comentario de abajo.