$$ax^2+bx+c=0$$
$b^2-4ac$ se llama el discriminante.
¿Por qué lo llaman discriminante de la ecuación cuadrática?
Respuestas
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La definición de discriminante según este búsqueda en google :
Agente o característica que permite distinguir las cosas, las personas o las clases entre sí.
- $b^2-4ac>0$ significa dos raíces reales,
- $b^2-4ac<0$ significa dos raíces imaginarias,
- $b^2-4ac=0$ significa una raíz real.
Alya
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2106
Desde Primeros usos conocidos de algunas palabras de las matemáticas :
DISCRIMINANTE. Una traducción al inglés de Geschichte der Elementar-Mathematik de Karl Fink tiene:
También fue Sylvester quien, en 1851, introdujo el nombre de "discriminante" para la función que expresa la condición de la existencia de dos raíces iguales de una ecuación algebraica; hasta ese momento, se acostumbraba, siguiendo el ejemplo de Gauss, a decir "determinante de la función". La cita es Sylvester J. J. (1851) "On a remarkable discovery in the theory of canonical forms and of hyperdeterminants", Phil Mag, serie 2, (1851), 391-410. [Dick Nickalls]
En 1876 George Salmon utilizó el discriminante en su sentido moderno en Mod. Higher Algebra (ed. 3): "El discriminante es igual al producto de los cuadrados de todas las diferencias de dos raíces cualesquiera de la ecuación" [OED].
El término discriminante geométrico se describe con detalle en Nickalls RWD y Dye RH (1996) The geometry of the discriminant of a polynomial, The Mathematical Gazette (1996), vol 80 (julio), pp 279--285. Los autores creen que son los primeros en definir este análogo geométrico del típico discriminante "algebraico".
R. A. Fisher introdujo y nombró la FUNCIÓN DISCRIMINANTE, la principal herramienta del análisis discriminante, en "The Use of Multiple Measurements in Taxonomic Problems" Annals of Eugenics, 7: 179-188 (1936). La frase ANÁLISIS DISCRIMINANTE aparece en el segundo artículo de Fisher sobre el tema "The Statistical Utilization of Multiple Measurements" Annals of Eugenics, 8 : 376-386 (1938). (David 2001)
runeh
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1304
Multiplica la ecuación por $4a$ para obtener $$4a^2x^2+4abx+4ac=(2ax+b)^2+4ac-b^2=0$$ que se convierte en $$(2ax+b)^2=b^2-4ac$$
El lado izquierdo de esta ecuación es un cuadrado. Sobre los números racionales o reales (un campo ordenado) el lado derecho puede ser positivo, negativo o cero, y esto determina lo que ocurre cuando se intenta sacar la raíz cuadrada, y por tanto determina la naturaleza de las raíces.
(En respuesta a la petición de @Did de ser más específico) Es esta separación entre casos la que está en la raíz del uso de la palabra "discriminante", que ha llegado a utilizarse también en contextos más generales. En estos casos puede haber menos separación o "discriminación" entre los casos, pero el discriminante sigue teniendo la misma definición en estos casos y también da alguna información importante. Podría añadir que el hecho de que el discriminante sea o no un cuadrado tiene implicaciones en la teoría de Galois.
Así que en un caso más general podemos utilizar las relaciones de Vieta que nos dicen que si las raíces de la ecuación son $x=\alpha, \beta$ tenemos $$\alpha+\beta=-\frac ba; \alpha\beta=\frac ca$$ para que $b=-a(\alpha+\beta)$ y $c=a\alpha \beta$ entonces $$b^2-4ac=a^2(\alpha^2+2\alpha\beta+\beta^2-4\alpha\beta)=a^2(\alpha-\beta)^2$$
El factor de la derecha es el cuadrado de la diferencia de las raíces por otro cuadrado (no cero). Es simétrico en $\alpha$ y $\beta$ por lo que se puede expresar en términos de polinomios simétricos elementales en las raíces, y por tanto en términos de los coeficientes del polinomio. Es cero precisamente cuando las raíces son iguales, así que incluso si no tenemos un campo o anillo ordenado -podemos estar trabajando sobre los números complejos, por ejemplo- el discriminante nos dice si dos de las raíces son iguales o no. Aquí tenemos una expresión explícita sólo en esos términos.
El producto de los cuadrados de las diferencias de las raíces es expresable en términos de los coeficientes para los polinomios de grado superior también, porque es igualmente simétrico, y del mismo modo detectará si hay dos raíces iguales.
AmateurMathGuy
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38
Si piensas en la gráfica de una cuadrática, una parábola, puedes imaginarte cualquiera de las tres situaciones que se dan en relación con el eje x: lo cruza dos veces, sólo lo toca, o no lo cruza nunca, y el discriminante discrimina entre esas situaciones. Básicamente son sólo funciones de los coeficientes de un polinomio dado que te indican las raíces, y por tanto el comportamiento global, de la función. Aparecen cuando resuelves la ecuación, al menos para un grado bajo, y discriminan entre las posibles situaciones de las raíces de un polinomio.
Para los cuadráticos, sabes que $$ \begin{align} b^2-4ac>0 \qquad &\to \qquad \text{the parabola crosses the x-axis twice; 2 roots} \\ b^2-4ac=0 \qquad &\to \qquad \text{the parabola just touches the x-axis, 1 root} \\ \qquad &\qquad \qquad\text{(of multiplicity 2 -- a double root)} \\ b^2-4ac<0 \qquad &\to \qquad \text{the parabola never crosses the x-axis; 0 roots } \end{align}$$
Si piensas en un cúbico, puedes ver que o bien cruzará el eje x una o tres veces, o una vez y tocará con una raíz doble. Si una vez habrá una raíz real y 2 raíces complejas, si tres entonces tienes tres raíces reales, si una vez y sólo toca, entonces tienes una raíz doble y una raíz real.
Como referencia, el discriminante de una cúbica: $\qquad ax^3+bx^2+cx+d\qquad $
es
$$b^2c^2-4ac^3-4b^3d-27a^2d^2+18abcd$$
Y cómo la usas:
$$ \begin{align} b^2c^2-4ac^3-4b^3d-27a^2d^2+18abcd>0 \qquad &\to \qquad \text{3 real roots} \\ b^2c^2-4ac^3-4b^3d-27a^2d^2+18abcd=0 \qquad &\to \qquad \text{1 real root, 1 real double root } \\ b^2c^2-4ac^3-4b^3d-27a^2d^2+18abcd<0 \qquad &\to \qquad \text{1 real root, 2 complex roots } \end{align}$$
También mira lo que pasa cuando $a=0$ , usted tiene $$b^2c^2-4b^3d$$ $$b^2 \cdot (c^2-4bd)$$ Que se comporta igual que el discriminante cuadrático
