Una instancia del Espacio Cociente $X/M$

Question

Hola Chicos no encuentro un ejemplo sencillo (con descripción analítica quiero decir) que me ayude a entender el significado de espacio cociente.

He entendido la definición ( $X$ espacio lineal normado, $M$ subespacio cerrado de $X$ para cada $x,y \in X$ $xRy$ si $x - y \in M$ definimos $X/M$ como el conjunto de todas las clases de equivalencia ¿existe algún ejemplo de la forma

$X/M = \left\{ x+M : x\in X \right\}$

Pregunto esto porque aunque he entendido la definición no sé cómo aplicarla para construir un ejemplo de "espacio cociente".

Answer 1

Me gusta el siguiente. Deja que $X=C[0,1]$ con los habituales $\| \cdot \|_\infty$ norma y $M=\{ f \in C[0,1] : f(1/2)=0\}$ . Es fácil ver que $M$ es un subespacio cerrado de $X$ .

¿Puede demostrar ahora que $X/M \simeq \mathbb{C}$ ? Dónde $X/M$ está dotado de la norma del cociente $(\|\cdot\|_{X/M})$ y $\mathbb C$ con la norma del módulo complejo $(|\cdot |)$ .

HINT Demostrar que $\phi : X/M \to \mathbb C$ dado por $$ \phi([f]):= f(1/2) $$ es un isomorfismo isométrico, es decir que $\phi$ es una biyección lineal y que $|\phi([f])|=\|[f]\|_{X/M}$

Solución del spoiler

Tenga en cuenta que $X/M=\{[f]: f \in X\}$ donde $[f]=\{g \in X : f-g \in M\}=\{ g \in X : g(1/2)=f(1/2)\}$ . Desde $$\phi([\lambda f+g])=\lambda f(1/2)+g(1/2)=\lambda\phi([f])+\phi([g]),$$ $\phi$ es un mapa lineal. Comprobemos ahora que $\phi$ es sobre, claramente $\phi(X/M)\subset \mathbb C$ Ahora bien, si $z\in \mathbb C$ y definir $f_z:[0,1] \to \mathbb{C}$ como $f_z(t):=z $ para todos $t \in [0,1]$ , claramente $f_z \in X$ y $\phi([f_z])=f_z(1/2)=z$ Por lo tanto $\phi(X/M)\supset \mathbb C$ y por lo tanto $\phi$ está en. Por último, arregle cualquier $f \in X$ por la definición de norma de cociente, $$ \| [f] \|_{X/M}=\inf\{ \|g\|_{\infty}: g \in [f]\}=\inf\{ \|g\|_{\infty}: g(1/2)=f(1/2)\} \geq |f(1/2)|=|\phi([f])|.$$ Por otro lado, si $h(t):=f(1/2)$ entonces $\|h\|_{\infty} = |f(1/2)|=|\phi([f])|$ y por lo tanto $h \in [f]$ Por lo tanto $$ \|[f]\|_{X/M}=\inf\{ \|g\|_{\infty}: g \in [f]\} \leq \|h\|_{\infty}=|\phi([f])|.$$ Así que, efectivamente $|\phi([f])|=\|[f]\|_{X/M}$ . Esto nos dice que como espacios normados $X/M$ y $\mathbb{C}$ son exactamente los mismos, sólo que con elementos que tienen nombres diferentes, por ejemplo el elemento $[f]\in X/M$ es de hecho el elemento $f(1/2)\in \mathbb{C}$ Al tener la misma norma, son esencialmente la misma, y por eso decimos que $$(X/M, \|\cdot\|_{X/M}) \simeq (\mathbb C, |\cdot|)$$

Answer 2

Espacio del cociente

Dado un espacio de Banach $E$ .

Construir el cociente:* $$E/M:=\{x+M:x\in E\}$$

Así como su norma: $$\|x+M\|:=\inf_{m\in M}\|x+m\|$$

Por la cerrazón de hecho:* $$\|x+M\|=0\iff x+M=0+M$$

*¡Aquí se requiere un subespacio cerrado!

Ejemplo

Dado un espacio de medidas $\Omega$ .

Consideremos el álgebra de Banach: $$\mathcal{B}_b(\Omega):=\{f\in\mathcal{B}(\Omega):\|f\|_\infty<\infty\}=:\mathcal{B}$$

Considera el ideal cerrado: $$\mathcal{I}_\mu(\Omega):=\{i\in\mathcal{B}_b(\Omega):i=0\bmod\mu\}=:\mathcal{I}$$

Construye el cociente: $$\mathcal{B}_b(\Omega)/\mathcal{I}_\mu(\Omega):=\{f+\mathcal{I}:f\in\mathcal{B}\}=:\mathcal{B}/\mathcal{I}$$

Así como su norma:* $$\|f+\mathcal{I}\|:=\inf_{i\in\mathcal{I}}\|f+i\|_\infty=:\mathrm{ess}-\sup_{\omega\in\Omega}\|f(\omega)\|$$

*¡Esto es esencial supremum!

Answer 3

He aquí un ejemplo quizás más fácil de entender. Dejemos que $(X,\mathcal M,\mu)$ sea un espacio de medidas. Decimos que una función $f:X\to\mathbb R$ es un $L^1$ o $f\in L^1$ , si $$\int_X |f|\mathsf d\mu <\infty. $$ Ahora, estrictamente hablando, esto es un abuso de la notación. Para ser más concretos, supongamos que $X=[0,1]$ y $\mu$ es la medida de Lebesgue restringida a $[0,1]$ . Entonces la función $f:[0,1]\to\mathbb R$ definido por $f(x) = x$ es $L^1$ ya que $$\int_{[0,1]} |f|\mathsf d\mu = \int_0^1 x\mathsf dx = \frac12. $$ Pero cambiar el valor de una función en un número contable de puntos no afecta a su integral, ya que la medida de Lebesgue de un conjunto contable es cero. Por tanto, la función $g:[0,1]\to\mathbb R$ con $$g(x) = \begin{cases} x,& x\ne\frac12\\ 1000,& x=\frac12\end{cases} $$ es $L^1$ , ya que de nuevo $$\int_{[0,1]} |g|\mathsf d\mu = \frac12. $$ Desde el punto de vista de la teoría de las medidas, $f$ y $g$ son esencialmente la misma función; tenemos $f=g$ a.e. (casi en todas partes) ya que $$\mu(\{x\in[0,1] : f(x)\ne g(x)\}) = 0. $$ Así que la definición real de $L^1(\mu)$ aquí está $$\left\{f:[0,1]\to\mathbb R \mid \int_X |f|\mathsf d\mu <\infty \right\} / \sim $$ donde $\sim$ es la relación de equivalencia $$f\sim g\iff f=g \text{ a.e.} $$ En otras palabras, los elementos de $L^1(\mu)$ no son funciones, sino que relaciones de equivalencia de funciones.

Answer 4

Problema

Lo que hace que todo el tema sea tan difícil es que la mayoría de las veces se habla en términos abstractos, como decir que se trata de clases de equivalencia. Esto puede crear, y la mayoría de las veces lo hace, más confusión. De hecho, las clases de equivalencia son mucho más fáciles de manejar de lo que se piensa en cuanto se las desmascula como meros... ...conjuntos.

Ahora, pregúntate primero cómo definirías su distancia a cero. Luego escríbalo explícitamente en un papel. Y finalmente piensa en cómo debe ser el supremum esencial en especial.