Motivar la relación cruzada y 'la proporción de razones' en$\mathbb{R}\mathbb{P}^2$

Question

Tratando de llegar a través de la idea de la cruz de relación, naturalmente, al pensar sobre el plano proyectivo $\mathbb{R} \mathbb{P}^2$, usando las ideas de Brannan la Geometría del libro: dado 4 puntos colineales $A,B,C,D$ nota (para los vectores respresenting estos puntos) que $$C = aA + bB$$ $$D = cA + dB$$

así que la cruz ratio se define como el $(b/a)/(d/c)$. ¿Por qué esto es obvio, y por qué es obvio que debe ser un invariante proyectivo sin grandes cálculos?

Mi conjetura es que usted tome

$$C = aA + bB = a[A + (b/a)B] \sim A + (b/a)B$$ y $$D \sim A + (d/c)B$$

de modo que, por alguna razón, queremos definir la diferencia entre estos términos, es decir, queremos encontrar el $\lambda$ que se convertiría $(b/a)$ a $(d/c)$:

$$(b/a) = \lambda (d/c)$$

así que

$$\lambda = (b/a)/(d/c)$$

nos dice que, dados dos generadores de una línea ( $A$ $B$ ) tenemos un tercer punto especificado por la relación$b/a$, y en un cuarto de punto especificado por la relación$d/c$, pero debido a que acabamos de considerar el factor que se convierte, para nuestro aplicada a partir de los generadores, un tercer punto en un cuarto punto, que esperamos que se conserva cuando proyectamos entre líneas:

Esta es la mejor que puedo hacer para hacer la declaración de que el coeficiente de relación (Stillwell 4 Pilar del libro) se conserva debajo de las proyecciones, ya que parece estar diciendo que el uso de este término a su vez un tercer punto en un cuarto de punto dado dos mirando los puntos. Todavía no está 100% claro de por qué se debe también tener sentido cuando empiece a tomar las proyecciones de los puntos en perspectiva :\

Los pensamientos? Ninguna de las imágenes para hacer más agradable? Cualquier idea de hacer la relación de la relación, junto con la cruz de relación, más obvio?

Hay algunos grandes respuestas aquí, tales como http://math.stackexchange.com/a/1023055/82615 o http://math.stackexchange.com/a/627396/82615 pero no he venido con un niño-como la comprensión de este, sin embargo, permite la esperanza de que se puede lograr!

Answer 1

Estoy seguro de que he visto este fenómeno antes: uno empieza con una cierta cantidad definida en términos de coordenadas, y se pregunta cómo alguien podría pensar que, cómo puede ser natural. Esto es demasiado "cerca."

Por ejemplo, es mejor entender que el determinante de una transformación en un verdadero espacio vectorial como un cambio en el volumen, o es más valioso para profundizar en un espantoso desorden de la adición y la multiplicación de las entradas de las matrices? (¿y qué es esto de cálculo de invariantes bajo transformaciones de similitud?!) Mejor olvidarse de la matriz y se centran en la transformación y la cantidad (el determinante).

El cambio de perspectiva que corrige esto es ir un poco más abstracto y darse cuenta de que el 'misterioso' definición en términos de coordenadas es sólo un computacional corolario de la imagen abstracta.

Intente esto

He aquí otra versión de la definición de la cruz-relación:

Deje $A,B,C,D$ ser coplanares en $\Bbb R^3$ tal que $\langle A\rangle, \langle B\rangle, \langle C\rangle, \langle D\rangle$ son distintos subespacios, y $A+B=C$. Entonces no hay una única $\lambda\in R$ tal que $\langle D\rangle =\langle A+\lambda B\rangle $. Este escalares $\lambda$ se llama la cruz de la relación de las $4$-tupla $(A, B; C, D)$. Mediante la identificación de estas líneas como puntos del plano proyectivo, hemos definido la cruz-relación colineal proyectiva puntos.

(Yo pueda tener misremembered la posición de $\lambda$ y, accidentalmente, se adoptó una versión no estándar de la cruz-ratio: voy a tener que comprobar más tarde.)

También sabemos que desde $PGL(2,\Bbb R)\cong GL(3, \Bbb R)/\Bbb R^\times$, al decidir sobre una línea en el infinito, se puede identificar cada transformación proyectiva como una transformación lineal en $\Bbb R^3$ trabajando en coordenadas homogéneas.

Si $T$ es esta transformación, a continuación, por la linealidad $T(A)+T(B)=T(A+B)=T(C)$ e si $\alpha D= A+\lambda B$,$\alpha T(D)=T(A+\lambda B)=T(A)+\lambda T(B)$, por lo que la cruz proporción de $(T(A),T(B);T(C),T(D))$ también $\lambda$. Por lo tanto $\lambda$ es invariante bajo la acción de la proyectiva grupo.

Conclusión

A partir de aquí, se llega a la conocida definición con proporciones de los cuatro números de la fijación de un sistema de coordenadas homogéneas y haciendo cálculos en el marco de coordenadas homogéneas.

Como mencioné al principio, no estoy seguro de que no hay ningún verdadero valor intuitivo en tratar de hacer racionalizaciones del cociente de los coeficientes directamente (más allá de lo que ya has dicho.) Es probablemente el mejor para asimilar el único, coordinar libre más la cantidad que el método utilizado para encontrar la cantidad, tal como uno puede entender el determinante de una transformación en términos de volumen, cambio de lugar de algunos extraños cálculo con la matriz de entradas.