Cómo probar$\sum_{k=1}^{N} \frac{\sin n\theta}{2^N}=\frac{2^{N+1}\sin \theta + \sin N\theta -2\sin(N+1)\theta}{2^N(5-4\cos \theta)}$

Question

Probar Este uso De Teorema de Moivre

$$\sum_{n=1}^{N}\frac{\sin n\theta}{2^n}=\frac{2^{N+1}\sin\theta+\sin N\theta-2\sin(N+1)\theta}{2^N(5-4\cos\theta)}$$

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Por favor, ayúdame a encontrar mi error, porque no voy a conseguir este resultado.

Lo que yo hice:

$$\frac{sin n\theta} {2^N} = \Im \frac{e^{n\theta i}}{2^N}$$

Aplica el G. P de la fórmula de la suma :

$$\frac{\frac{e^{\theta i}}{2} (1-\frac{e^{N\theta i}}{2^N})}{1-\frac{e^{\theta i}}{2}}$$

$$\Im\frac{e^{\theta i} (\frac{2^N-e^{N\theta i}}{2^N})}{2-{e^{\theta i}}}$$

$$\Im\frac{e^{\theta i} (\frac{2^N-e^{N\theta i}}{2^N})}{2-{e^{\theta i}}}$$

$$\Im\frac{e^{\theta i} ({2^N-e^{N\theta i}})}{2^{N+1}-{2^N e^{\theta i}}}$$

$$\Im\frac{e^{\theta i} ({2^N-e^{N\theta i}})}{2^{N}(2-{e^{\theta i}})}$$

$$\Im\frac{e^{\theta i} ({2^N-e^{N\theta i}})}{2^{N}(2-{e^{\theta i}})} \cdot \frac{2+e^{\theta i}}{2+e^{\theta i}}$$

Me dieron :

$$\frac{2^{N+1} \sin \theta + 2^N \sin 2\theta - 2\sin (N+1)\theta- sin (N+2)\theta}{2^N(4-\sin 2\theta)}$$

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No tengo idea de cómo lo lleva al resultado deseado. No se ven muy similares. Lo que está mal , o ¿qué puedo hacer ?

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También me di cuenta de que el denominador debe ser en términos de $\cos \theta$ por lo que también se utiliza $sin2\theta=2\sin\theta \cos\theta$ pero luego no sé cómo deshacerse de la $\sin\theta$ :

$$\frac{2^{N+1} \sin \theta + 2^N \sin 2\theta - 2\sin (N+1)\theta- sin (N+2)\theta}{2^N(4-2\sin\theta\cos \theta)}$$

Answer 1

Tan lejos como puedo ver que estás corregir hasta $$\frac{e^{\theta i} ({2^N-e^{N\theta i}})}{2^{N}(2-{e^{\theta i}})}\ .$$ Pero, a continuación, se multiplica la parte superior e inferior por $2+e^{\theta i}$, que es no el conjugado de a $2-e^{\theta i}$.

Recuerde que el conjugado de a $a+bi$ $a-bi$ si $a$ $b$ son números reales - pero $e^{\theta i}$ no es real.

De hecho, el conjugado de a$e^{\theta i}$$e^{-\theta i}$. Usted puede confirmar esto por escrito y en términos de $\cos\theta$ $\sin\theta$ y la búsqueda de la conjugado en la forma habitual.

Así que, usted debe han multiplicado parte superior e inferior por $2-e^{-\theta i}$. A continuación, en el denominador se obtiene $$(2-e^{\theta i})(2-e^{-\theta i}) =4-2(e^{\theta i}+e^{-\theta i})+e^{\theta i}e^{-\theta i} =4-2(2\cos\theta)+1 =5-4\cos\theta\ .$$ Te dejamos con multiplicar el numerador y tomar la parte imaginaria.