Cómo puedo probar
$$\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}...}}}}=2$$
No sé qué método se puede utilizar para esto?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Podemos definir a la $x=\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}...}}}}$ como sigue:
Deje $x_1 = \sqrt 2$ $x_{n+1} = (\sqrt 2)^{x_{n}}$
Podemos mostrar a $x_n \lt 2\ \forall n$ por inducción, ya que si $y \lt 2$,$(\sqrt 2)^y \lt 2$. Y $x_n$ es claramente monótonamente creciente, por lo $x_n \to x$.
Pero $$x_{n+1} = (\sqrt 2)^{x_{n}}$$ así que tomando límites, tenemos que $$x = (\sqrt 2)^{x}$$
La solución de este, y con el hecho de que $x \le 2$ da $x =2$.
fianchetto
Puntos
186
Paso Uno. Definir la secuencia recursiva $$ a_0=\sqrt{2}, \quad a_{n+1}=\sqrt{2}^{a_n},\,\,n\in\mathbb N. $$
Paso Dos. Mostrar que $\{a_n\}$ es cada vez mayor (inductivamente), y la parte superior delimitada por $2$ (también inductivamente).
Paso Tres. Debido a que el Paso Dos de la secuencia de $\{a_n\}$ es convergente. Deje $a_n\to x$. Claramente, $\sqrt{2}<x\le 2$. Pero $a_{n+1}=\sqrt{2}^{a_n}\to x$, así. Por lo tanto $$ x=\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}a_{n+1}=\lim_{n\to\infty}\sqrt{2}^{a_n}=\sqrt{2}^x. $$ Por lo tanto $x$ satisface $\sqrt{2}^x=x$.
Paso Cuatro. Mostrar que $x<\sqrt{2}^x$, para todos los $x\in (\sqrt{2},2)$, y por lo tanto $x=2$.
Lissome
Puntos
31
Definir $x_1=\sqrt{2}$$x_{n+1}=\sqrt{2}^{x_n}$.
Demostrar por inducción que $x_n \leq x_{n+1} \leq 2$. Como la secuencia es limitado y cada vez mayor, es convergente, y el límite entre el$x_1=\sqrt{2}$$2$.
Terminar la prueba por la observación de que $$\sqrt{2}^x=x$$ tiene una única solución en el intervalo de $[\sqrt{2}, 2]$.
Para la última parte, así como por la monotonía, usted debe estudiar primero la monotonía/signo de $x-\sqrt{2}^x$ $ [\sqrt{2}, 2]$
