Demuestre o desmienta: si$|f(x)|\leq x^2$ entonces$f$ es diferenciable en$0$

Question

Estoy tratando de probar / refutar la siguiente declaración:

Si$|f(x)|\leq x^2$ para todos$x$, entonces$f$ es diferenciable en$x=0$.

Mi intento inicial:$|f(0)|\leq0\Rightarrow f(0)=0$. Entonces, como$-x^2\leq f(x)\leq x^2$ obtenemos ese$f'(0)=\lim\limits_{x\to0} \frac{f(x)-0}{x-0}=0$ (usando la regla Squeeze). Pero parece estar mal y no puedo encontrar un contraejemplo. ¿Alguna sugerencia?

Answer 1

ps

como$$\left|\frac{f(x)-f(0)}{x}\right|\le\left|\frac{x^2-0}{x}\right|=|x|\to 0$ El límite del lado izquierdo es$x\to 0$.

Answer 2

El Dr. MV la solución es correcta; Aquí, sólo estoy dispuesto a comentar un par de ocasiones donde podemos/no podía probar el resultado.

Observación 1: Si existiera un $\lambda > 1$ tal que $|f(x)|\le |x|^{\lambda}$, el resultado sería seguir por el mismo razonamiento. Esto tiene que ver con la Hölder Cotinuity exponente de la función en $x=0$.

Def.: Llamamos a $f : \Bbb{R} \rightarrow \Bbb{R} $Hölder continua de exponente $\lambda > 0$ en el punto de $x_0$ si podemos asegurar que la desigualdad de $|f(y)-f(x_0)|\le C |y-x_0|^{\lambda}$ para todos los $y$. ($C$ es una constante fija)

Entonces, llamamos a una función *Hölder continua de exponente*$\lambda$ si la condición anterior se sostiene en cada una de las $x_0$.

Puede ser (fácilmente) mostró que la única Hölder funciones continuas de exponente $\lambda > 1$ son las constantes de las funciones. Para $\lambda = 1$, podemos recuperar el concepto de funciones de Lipschitz - que están lejos de ser 'trivial' en el antiguo sentido, pero que son "esencialmente" funciones diferenciables -, y para $0<\lambda <1$ contamos con una amplia clase de los no-funciones diferenciables - por ejemplo, de una amplia clase de irregulares funciones continuas, tales como el Movimiento Browniano de las rutas, son Hölder Continua de algunos exponente.

Observación 2: El anterior comentario (tal vez) nos sugiere que la totalidad de la cosa debe de fallar incluso para $\lambda = 1$. Por ejemplo, $f(x)=|x|$ ni siquiera no es diferenciable en a $x=0$.

Por ejemplo, el Movimiento Browniano caminos son locales, Hölder Coninuous de exponente $\forall \; \alpha <1/2$, pero son diferenciable, casi seguramente. Esto proporciona algunos ejemplos más de cómo puede una función relativamente bien educados, pero no diferenciable.