Ejercicio 2.4 en Fulton y Harris

Question

Estoy tratando de comenzar con la lectura de Fulton y Harris' Teoría de la Representación y estoy teniendo problemas con lo siguiente:

Ejercicio. Mostrar que si conocemos el carácter $\chi_{V}$ de una representación $V$, entonces sabemos que los valores propios de cada elemento $g$$G$, en el sentido de que sabemos que los coeficientes del polinomio característico de a $g : V \rightarrow V$. Llevar esto a cabo de forma explícita para que los elementos de $g \in G$ de las órdenes de $2, 3$, e $4$, y por una representación de $G$ sobre un espacio vectorial de dimensión $2$, $3$, $4$.

Como que me da la pista de que debemos buscar en $\wedge^{k}V$ (más precisamente en los valores propios de a$g$$\wedge^{k}V$, que debe ser el producto que pressume, pero no creo que entienda las cosas lo suficientemente bien, por lo que una detallada respuesta sería muy útil para mí en este momento para salir de dudas. Muchas gracias de antemano!

Answer 1

Si$g$ tiene valores propios$\lambda_1, ... \lambda_n$, entonces$$\chi_V(g^k) = \sum_{i=1}^n \lambda_i^k.$ $

Esta secuencia determina de manera única los valores propios. Hay varias formas de ver esto; el más corto es probablemente observar que$$\sum_{k \ge 0} t^k \chi_V(g^k) = \sum_{i=1}^n \frac{1}{1 - t \lambda_i}$ $

aunque este argumento no prueba directamente que de hecho baste tomar$k \le n$. Para esto, usa las identidades de Newton .