Diversión con el método de Newton: Infinitamente muchos ciclos

Question

Me gustaría escribir el prólogo de este problema diciendo que no tengo absolutamente ni idea de si es solucionable o no. Esto es sólo el resultado de algunas reflexiones, y estoy buscando alguna guía, o para estar apuntando en la dirección de una solución si se sabe.

El objetivo es encontrar una función, esperemos que un polinomio, pero esto no es un requisito, que contiene una infinidad de ciclos en que cuando el Método de Newton se aplica a ella. Un ejemplo de este tipo de ciclo es un 2-ciclo que se plantea en la función de $f(x)=x^3-2x+2,$ junto con el punto de partida $x=0$ como el punto de partida. Aplicando el Método de Newton ($N(x)=x- \frac {p(x)}{p'(x)})$ a este rendimientos $N(0)=0-\frac {2}{-2}=1$. Tomando $1$ ya que el siguiente punto, a continuación, da. $N(1)=1-1=0,$ ceder el 2-ciclo.

Ahora, yo sé que no existe un orden de los números naturales, de manera que la existencia de algunos ciclos implica la existencia de otros ciclos, que, si no recuerdo mal, se llama la Sarkovskii pedido. Desde este orden muestra que $2 \rhd 1,$ debe haber un punto fijo para esta función. En el contexto del Método de Newton, esto debería ser algo obvio - que en algún lugar de $f(x)$ no debería ser un punto de $x_0$ tal que $f(x_0)=0$. Un dibujo rápido de esta función se muestra que existe un punto. Sin embargo, el orden, dice mucho acerca de la existencia de estos ciclos, y, en particular, que la existencia de un 3-ciclo implica la existencia de un ciclo de cualquier otro período.

Conociendo esta información, estoy buscando una función con un 3-ciclo, de manera que todos los otros períodos de existir. He tratado de investigar esta cuestión con la mano, buscando el período de 3 puntos de la función de $N(x)$ y esperemos que señalar algunos útiles patrón pero es inmediatamente claro para mí que incluso $N^2(x)$ es bastante difícil trabajar con ellos (si $N^2(x)=N(N(x))$, que es). Desde

$N^3(x)=N(N^2(x))=N((x- \frac {p(x)}{p'(x)})- \frac {p (x- \frac {p(x)}{p'(x)})} {p'(x-\frac {p(x)}{p'(x)})})$

Así que estoy esperando que alguien sabe otra manera de cocinar una función que se comportan como esta. O al menos lo que me apunte en la dirección correcta. También, no sé qué etiquetas para utilizar de forma adecuada para esta pregunta, así que me marcaron las mismas cosas que usaba cuando estaba en un curso de introducción en los sistemas dinámicos.

Answer 1

Una estrategia general para encontrar las funciones con las propiedades deseadas es el estudio de una parametrización de la familia de funciones. Esta es exactamente la ruta de acceso a la bifurcación de diagrama en la verdadera dinámica y el conjunto de Mandelbrot en la dinámica compleja.

Un super-atractivo órbita de periodo 3

Después de un poco de experimentación, me decidí a buscar a la familia de polinomios cúbicos $f_{\lambda}(x)=\lambda+x-x^3$, que tiene el asociado de Newton el método de iteración de la función $$n_{\lambda}(x)=\frac{2 x^3 + \lambda}{3 x^2-1}.$$ Tenga en cuenta que $$n_{\lambda}'(x)=\frac{6 x \left(x^3-x-\lambda \right)}{\left(1-3 x^2\right)^2}$$ de modo que $x=0$ es un punto crítico. Por lo tanto, para encontrar un valor de $\lambda$, de modo que $n_{\lambda}$ tiene un super-atractivo órbita de periodo 3, es suficiente para encontrar un valor de $\lambda$ tal que $n_{\lambda}(n_{\lambda}(n_{\lambda}(0))) = 0$. El acaparamiento de sólo el numerador de la mano izquierda, esta ecuación es equivalente a $$-16 \lambda ^9+51 \lambda ^7-39 \lambda ^5+11 \lambda^3-\lambda = 0.$$ Uso de su favorito solucionador numérico, resulta que $\lambda\approx -1.49175$ hace el truco.

Un repulsivo órbita de periodo 3

Si nos atenemos a los polinomios cuadráticos, no vas a encontrar ningún atractivo órbitas de periodo 3, pero usted puede encontrar repeler las órbitas de periodo 3. En efecto, consideremos el polinomio $p(x)=x^2+1$. Esto no tiene raíces reales, así que quizás no es de extrañar que el correspondiente método de Newton iteración de la función $$n(x)=\frac{x}{2}-\frac{1}{2 x}$$ muestra el comportamiento caótico en la recta real. Por lo tanto, se podría esperar un punto de período 3. Para encontrarlo, basta con resolver la ecuación de $n(n(n(x))) = x$. Esto es equivalente a $$\frac{x^8-28 x^6+70 x^4-28 x^2+1}{8 x \left(x^6-7 x^4+7x^2-1\right)} = x.$$ O uso de su favorito solucionador numérico de nuevo, usted puede encontrar las raíces. Hay seis raíces reales formando dos órbitas de período de 3 a saber $$2.07652 \rightarrow 0.797473 \rightarrow -0.228243 \rightarrow 2.07652$$ y $$-2.07652 \rightarrow -0.797473 \rightarrow 0.228243 \rightarrow -2.07652.$$

Answer 2

Tratar $p(x) = (x−2)(x−1)x(−{9x^2 \over 8}+{21x \over 8}−{1 \over 2})+1$.

Tienes$p(0) = p(1) = p(2) = 1$ y$p'(0) = p'(1) = -1, p'(2) = {1 \over 2}$.

Usando$x_{n+1} = x_n - { p(x_n) \over p'(x_n) }$, encontramos que con$x_0 = 0$, obtenemos$x_1 = 1, x_2 = 2, x_3 = 0,...$