¿Qué es este grupo? (Reconociendo a un grupo de una presentación).

Question

Estoy tratando de averiguar lo que el siguiente grupo es:

$$G = \langle a, b \mid ab^2 = b^2a,\ a^4 = b^3\rangle.$$

Debido a que el problema de isomorfismo para grupos, no es algorítmica manera de abordar preguntas como esta en general. La única técnica que conozco es a considerar la abelianisation de $G$, que, si no me equivoco, es el grupo dada por los mismos generadores y relaciones, junto con el adicional de la relación $ab = ba$. En este caso, aparte del hecho de que usted puede eliminar la primera relación, no parece ser más fácil de determinar.

Así que mis preguntas son las siguientes:

1. ¿Qué es el grupo $G$?
2. Sin el uso de la respuesta a la primera pregunta (es decir, utilizando sólo la presentación), ¿cuál es la abelianisation de $G$?

Además, las descripciones de otras técnicas que se pueden utilizar para obtener una mejor comprensión de un grupo de una presentación sería muy apreciada.

Answer 1

La abelianización se genera mediante$c=a^{-1}b$ porque$c^{3}=a^{-3}b^3=a$ y$c^4=ac=b$. Por lo tanto, todas las relaciones se vuelven redundantes y terminamos con$\mathbb Z$.

Answer 2

En primer lugar,$a$ conmuta con$b^2$ en la primera relación, mientras que claramente$a$ conmuta con$a^4$ así$a$ conmuta con$b^3$ en la segunda relación . Esto significa que el subgrupo$H=\langle a, b^2, b^3\rangle$ es abelian, ya que los generadores se conmutan por pares. Sin embargo,$b^3b^{-2}=b\in H$ y así$G=H$. Por lo tanto,$G$ es un grupo abeliano. Como ya se ha señalado, la abelianización de$G$ es infinita cíclica, por lo que concluimos que$G$ es infinita cíclica.

Answer 3

$b^2$ conmuta con$a,$ (según la primera relación), por lo que cada elemento del grupo se puede escribir como$$(b^2)^k \prod (a^{i_j}b^3)^l a^m=b^{2k} a^n,$$ (by the second relation). Given the abelianization, the group should be $ \ mathbb {Z}. $