Volumen del primer octante bajo una superficie

Question

Encuentre el volumen de la primera región de octante debajo de la superficie$\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=1$

Creo que la integral debería ser:

ps

¿Podría alguien decirme si esto es correcto?

Answer 1

Y un método aún más simple para encontrar esta integral es reemplazar$x$ con$u^2$,$y$ con$v^2$ y$z$ con$w^2$.

En lugar de esto:$$\int_{0}^1\int_{0}^{\left(1-\sqrt x\right)^2}\int_{0}^{\left(1-\sqrt x -\sqrt y\right)^2}\,dz\,dy\,dx$ $$dx = 2u\,du\\dy=2v\,dv\\dz=2z\,dz$

obtendrás esto:

ps

que creo que es más fácil de visualizar