Exponentes racionales en la calculadora

Question

Estoy confundido sobre por qué mi calculadora dice que$$x^\frac{n}{n}=x$$ when $ n$ is an even integer. I was under the impression that $$x^\frac{n}{n}=\sqrt[n]x^n=|x|$$ when $ n $ es un entero par. Gracias por cualquier aclaración.

Answer 1

El problema básico es que las "leyes de los exponentes" como $(x^a)^{1/b} = x^{a/b} = (x^{1/b})^a$ trabajo de positivos $x$, pero no siempre para el negativo $x$. Las cosas se ponen aún más interesantes cuando los números complejos están involucrados.

Habría que insistir en que cuando se escribe $x^{n/n}$ tiene el sentido $x^{(n/n)}$, y desde $n/n = 1$ (al menos para $n \ne 0$) esto es igual a $x^1 = x$. La mayoría de álgebra computacional paquetes de tomar el mismo punto de vista, de hecho, en una interfaz basada en texto en general, usted no puede entrar sin el paréntesis:

x^(n/n)

Si desea $(x^{n})^{1/n}$ o $(x^{1/n})^n$, de poner entre paréntesis según corresponda.

Answer 2

La calculadora es correcta $\frac {n}{n} = 1$ para todos $n \neq 0$. Cualquier argumento en contra debe abordar eso.

Answer 3

$x^{(\frac nn)} =x^1 = x$

$(x^{n})^{\frac 1n} = |x|$

Tenga en cuenta la diferencia ... los corchetes afectan mucho

Answer 4

Siempre n no es 0, $x^{\frac{n}{n}} = (x^{n})^\frac{1}{n} = |x|$ si n es par.

Podría ser que la calculadora está simplificando $x^\frac{n}{n}$ por primera inflexión $\frac{n}{n}$ a 1, pero esto es incorrecto y un error de la calculadora.

Hay buenas justificaciones para $a^\frac{b}{b}$ no ser siempre igual a $a$. Por ejemplo, considere la función $f(x) = a^\frac{x}{x}$. Esta función es $a$ para todos los no-cero $x$, pero no está definido si $x = 0$. La función de $g(x) = a$, aunque idéntica a la otra función para todos los no-cero $x$, no contiene $x=0$ en su dominio. Por lo tanto, es una función diferente. Este particular argumento no justifica el valor absoluto, pero teniendo en cuenta que la calculadora/Wolfram Alpha no cumple con los requisitos de la simplificación con la condición de que $n$ no es 0, creo que esta es una consideración importante como la calculadora de salida puede causar confusión si uno no es cuidadoso.

Tal vez es una cuestión de convención que se realiza de forma diferente dependiendo de a quién preguntes, pero al menos en mi experiencia con las matemáticas, es como he dicho anteriormente.