$G$ es un grupo finito y $G_1$ , $G_2$ son subgrupos que $G_1 \cap G_2=\{1\}$ entonces $|G_1|.|G_2| \big| |G|$ ?

Question

$G$ es un grupo finito y $G_1$ , $G_2$ son subgrupos que $G_1 \cap G_2=\{1\}$ entonces $|G_1|.|G_2| \big| |G|$ ?

Si $x\in G_1$ , $y \in G_2$ implica $xy=yx$ o uno es normal, la afirmación es obvia. Pero en otros casos, no puedo hacer nada. ¿Hay alguna condición más débil para demostrarlo, o hay algunos contraejemplos?

Answer 1

Dejemos que $r_1,r_2 \in D_n$ dos reflexiones diferentes en el grupo diédrico de orden $2n$ . Toma $G_1= \langle r_1 \rangle$ y $G_2 = \langle r_2 \rangle$ . Entonces $G_1 \cap G_2= \{1\}$ pero $|G_1 | \cdot |G_2|=4$ no divide $|D_n|=2n$ si $n$ es impar.

Answer 2

Para una condición más débil, esto es cierto cuando $G$ es nilpotente. Podemos demostrar lo siguiente

Un grupo finito $G$ es nilpotente si y sólo si $|G_1G_2|$ divide $|G|$ para cada subgrupo $G_1$ , $G_2$ de $G$ .

Si $G$ es nilpotente, entonces $G$ es un producto directo de sus subgrupos Sylow. Es decir, $G = P_1 \times \ldots \times P_t$ donde $P_i$ son los subgrupos Sylow de $G$ . Entonces $G_1$ y $G_2$ también son nilpotentes, por lo que $G_1 = A_1 \times \ldots \times A_t$ y $G_2 = B_2 \times \ldots \times B_t$ donde $A_i$ y $B_i$ son subgrupos de $P_i$ . Ahora el producto $G_1G_2$ no es necesariamente un subgrupo, pero es de la forma

$$G_1G_2 = A_1B_1 \times \ldots \times A_tB_t$$

así que $|G_1G_2|$ divide $|G|$ porque cada $|A_iB_i|$ divide $|P_i|$ .

Para la otra dirección, observe que para dos Sylow $p$ -subgrupos $P$ y $Q$ la orden $|PQ|$ divide $|G|$ si y sólo si $P = Q$ . Por lo tanto, para cada divisor primo de $G$ hay exactamente un subgrupo Sylow, lo que implica que $G$ es nilpotente.

Answer 3

De manera más general (que el caso que da Seirios), dejemos $G$ sea un grupo finito de orden divisible por el primo $p$ y supongamos que $G$ no tiene ninguna normal no identitaria $p$ -y también tiene un Sylow abeliano $p$ -subgrupo $P.$ Entonces, por un teorema de Brodkey, existe alguna $g \in G$ tal que $P \cap g^{-1}Pg = 1$ pero ciertamente no tenemos $|P|^{2}$ dividiendo $|G|$ .

Por cierto, cabe señalar que la pregunta tiene una respuesta positiva si $G$ mismo es un $p$ -para algún primo $p$ como entonces $|G_{1}G_{2}|$ es una potencia de $p$ ( aunque $G_{1}G_{2}$ no necesita ser un subgrupo) y esta potencia de $p$ es como máximo $|G|$ que también es una potencia de $p.$