Los números característicos de espacios homogéneos de computación

Question

Me disculpo de antemano si esto es una mala pregunta.

Me gustaría probar o refutar una conjetura acerca de la fuga de los números característicos de espacios homogéneos, y para ello estoy buscando (y actualmente no) para entender algunos ejemplos sencillos.

La conjetura de obras de Euler características de los parciales de la bandera de los colectores. También funciona para la Pontryagin y Stiefel–Whitney números de real Grassmannians, para, básicamente, dimensiones razones; en particular, todavía no he calculado cualquier distinto de cero, de dichos números.

Para entender algunos de los más de los casos, me gustaría ser capaz de calcular algunos Pontryagin y Stiefel–Whitney clases (o al menos números) para algunos parcial de la bandera de los colectores, pero no sé cómo.

Yo sé cómo se descompone la tangente paquete de un parcial bandera colector, dicen que de las banderas $\mathbb{R}^{k_1} < \mathbb{R}^{k_1 + k_2} < \mathbb{R}^{k_1 + k_2 + k_3}$, en una suma directa de tensor de productos de pullbacks de tautológica haces sobre el Grassmannians $G(k_j,k_1+k_2+k_3)$, pero no sé cómo usar esta descomposición, porque no entiendo a qué producto tensor hace a la característica de clases, y porque creo que yo también tendría que entender que el pullback de mapas en el cohomology de estos espacios.

De hecho, ni siquiera sé el cohomology. Sé el cohomology con $\mathbb{Z}/2$ $\mathbb{Q}$ coeficientes del infinito-dimensional Grassmannians $G(k,\infty)$ son bien conocidos, aunque la 2-torsión de la cohomology con $\mathbb{Z}$ coeficientes es algo sutil, pero entiendo la situación para el finito-dimensional Grassmannians a ser bastante más complicado, posiblemente demasiado complicado de entender para mí mucho en general.

¿Cómo puedo aprender a calcular los números característicos?

Answer 1

Primero: la notación. $H\subseteq G$ están conectados compacto Mentira grupos, $EG$ es un contráctiles espacio en el que $G$ actúa libremente y $BG = EG/G$. Lo primero que se refieren los cohomology (con $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ coeficientes) de $G/H$ a de $G$$H$, y, a continuación, calcular Stiefel-Whitney clases. Por lo tanto, estoy suponiendo que $H^\ast(G;\mathbb{Z}_2)$ $H^\ast(H;\mathbb{Z}_2)$ son conocidos. A partir de aquí, todos los cohomology se supone que para ser con $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} = \mathbb{Z}_2$ de los coeficientes.

Para empezar, tenemos un universal bundle $G\rightarrow EG\rightarrow BG$. Desde $EG$ es contráctiles, la Serre espectral de la secuencia asociada a este conjunto debe converger a trivial cohomology. Esto le permite calcular $H^\ast(BG)$ en términos de $H^\ast(G)$.

Ahora, también tenemos un $H$-principal paquete de $H\rightarrow G\rightarrow G/H$ el cual está clasificado por un mapa de $\phi_H:G/H\rightarrow BH$. Ahora, una prueba que, hasta homotopy, $G\rightarrow G/H\rightarrow BH$ es un fibration y que, si $i:H\rightarrow G$ es la inclusión, a continuación, $G\rightarrow G/H\rightarrow BH$ es la tire hacia atrás de la universal bundle $G\rightarrow EG\rightarrow BG$ por el mapa $Bi$.

Por connaturalidad de espectral secuencias, las diferencias en el espectro de la secuencia de $G\rightarrow G/H\rightarrow BH$ se dan como tirar de espaldas por $Bi^\ast$ de las diferencias en el $G\rightarrow EG\rightarrow BG$. Por lo tanto, si usted puede calcular el $Bi^\ast$, se puede calcular el espectro de la secuencia de $G\rightarrow G/ H \rightarrow BH$, y por lo tanto, la cohomology de $G/H$ (módulo de extensión de los problemas).

El cálculo de $Bi^\ast$ sigue los métodos de Borel y Hirzebruch (o era Borel y Serre?). Deje $Q_G\subseteq G$ ser un máximo de 2-grupo, es decir, un subgrupo maximal de a $G$ isomorfo a $Z_2^n$ algunos $n$. Asimismo, tome $Q_H\subseteq H$ de tal manera que $Q_H\subseteq Q_G$. (Al igual que todas máxima tori en una Mentira grupo son conjugadas, por lo que son todos de la máxima $2$-grupos, por lo que siempre podemos organizar que $Q_H\subseteq Q_G$).

Ahora, $BQ_G = (\mathbb{R}P^\infty)^n$, por lo que entendemos que su cohomology. La inclusión $i:Q_H\rightarrow Q_G$ induce un mapa de $Bi^\ast: H^\ast(BQ_G)\rightarrow H^\ast(BQ_H)$ que podemos escribir en términos de $i^\ast:H^\ast(Q_G)\rightarrow H^\ast(Q_H)$ (aquí, me refiero a la cohomlogy del espacio discreto $H^\ast(Q_G)$, ignorando el grupo de los aspectos de la misma).

Ahora viene la mejor parte. La inclusión de mapas de $Q_H\subseteq H$ $Q_G\subseteq G$ inducir inyectiva mapas de $H^\ast(BH)\rightarrow H^\ast(BQ_H)$$H^\ast(BG)\rightarrow H^\ast BQ_G)$. Por lo tanto, si podemos determinar la imagen de estos mapas, se puede calcular el $Bi^\ast$ $H^\ast (BG)$ por la computación en $H^\ast(BQ_G)$ y la restricción. Borel y el otro chico calcular la imagen en el caso de todos los clásicos grupos - voy a tratar de desenterrar una referencia para él.

Todo esto sólo le permite calcular el cohomology anillos con mod 2 coeficientes (modulo problemas de extensión) por $G/H$. Realmente calcular Stiefel-Whitney clases, se utiliza la siguiente fórmula:

$$w(G/H) = \phi_H^\ast\left(Bi^\ast\left[ \prod_{\alpha\in \Delta_2 G}(1+\alpha) \right]\cdot\prod_{\beta\in \Delta_2 H}(1+\beta)^{-1}\right).$$

Voy a pasar el resto del post tratando de hacer sentido de la fórmula. Primero se calcula el $\phi_H^\ast$ como el borde homomorphism es el espectro de la secuencia de $G\rightarrow G/H\rightarrow BH$, que ya hemos visto cómo calcular arriba.

Movimiento en el interior, el siguiente confuso cosa es la $\Delta_2 G$ notación. Esto denota el conjunto de $2$-raíces de $G$. Para calcular estos, tenga en cuenta que adjunto acción de $G$ $\mathfrak{g}$ y restringir a $Q_G$. Desde $Q_G$ es abelian, $\mathfrak{g}$ debe romper en una suma de 1-dim irreductible de representantes, el $2$-raíz de los espacios. Los correspondientes valores propios de raíz de estos espacios son los $2$-raíces de $G$.

Cada autovalor es realmente un funcional lineal $f:Q_G\rightarrow \mathbb{Z}_2$, por lo que podemos pensar en ella como una función de $f:H_0(Q_G)\rightarrow \mathbb{Z}_2$, $f\in H^0(Q_G)$. Desde el fibration $Q_G\rightarrow EQ_G\rightarrow BQ_G = (\mathbb{R}P^\infty)^n$, se puede identificar a $H^1(BQ_G)$$H^0(Q_G)$, lo que nos permite pensar acerca de $f\in H^1(BQ_G)$. Esta es la interpretación que nosotros queremos.

Una nota final. A continuación, asigne $\phi_H^\ast Bi^\ast$ es realmente el $0$-mapa en todo, pero de $H^0$, por lo que uno podría dejar fuera de ese producto a través de $\Delta_2 G$. Sin embargo, pratically, a menudo es el caso que un montón de cancelación se produce entre la $Bi^\ast$ producto y el otro producto, por lo que a menudo se deja en el $\Delta_2 G$ parte con la esperanza de no tener que calcular demasiados inversos.