¿Por qué el axioma de selección se soluciona Russell ' s paradoja en teoría de conjuntos?

Question

Soy un principiante en las matemáticas y estaba leyendo un texto sobre teoría de conjuntos que habló sobre cómo axioma de selección de Zermelo "resuelve" la paradoja de Russel.

Entiendo que el el axioma no permite construcciones de la forma $$\{x \:: \text S(x) \}$$ and only allows$% $ $\{x \in \text A \:: \text S(x) \}$pero cómo esto cambia el resultado de la paradoja cuando tenemos:
$$S = \{x \in \text A \:: \text x \notin \text x \}$$ where $$ %S es el conjunto de todos los conjuntos que no contienen en sí mismos.

¿No tenemos todavía la paradoja?

Answer 1

Axioma de regularidad (o Fundación) se excluye el caso de $S\in S$.

De lo contrario, tendríamos $S\notin S$. Ahora, ¿esto implica $S\in S$?

El problema con Russel paradoja es que implícitamente supone la existencia de un conjunto universal ("conjunto de todos los conjuntos").

Si $A$ es un conjunto y $S=\{x\in A:x\notin x\}$, $S\notin S$ implica $S\in S$ o $S\notin A$.

En el caso de la paradoja de Russell, no es posible tener $S\notin A$, debido a $S$ debe pertenecer al conjunto de todos los conjuntos, si es que existía, y nos lleva a la paradoja $S \in S$. Pero con nuestra construcción de dicha serie no puede existir (exactamente porque la existencia de este conjunto nos lleva a la paradoja de Russell). Así que la paradoja no se plantea.

Answer 2

Si asumimos la existencia de un conjunto $R$ tal que $$R=\{x: x\notin x\}$$then we can obtain the contradiction $R\in R $ and $R\noen R$. So, $R$ no puede existir.

Para evitar la Paradoja de Russell, entonces, todo lo que tenemos que hacer es no asumir que, para cada predicado unario $P$, existe un conjunto $S$ tal que $$S=\{x:P(x)\}$$

Si, sin embargo, $A$ es asumido o demostrado ser un conjunto, entonces nos puede suponer sin temor a la contradicción que existe un subconjunto $S\subset A$ tal que $$S=\{x\in A: P(x)\}$$Or equivalently$$S=\{ x: x\in A \text{ and } P(x)\}$$

Usted puede pensar de $P(x)$ como el criterio para la selección de los elementos del conjunto $A$ para el subconjunto $S$. La única restricción es que la variable $S$ puede no ocurrir en el criterio de selección. Este es el Axioma de Especificación (Selección).

Si, por ejemplo, hemos establecido $A$, entonces podemos asumir que existe un subconjunto $S\subset A$ tal que $$S=\{x\in A: x\notin x\}$$ Or equivalently $$S=\{x:x\in A \text{ and } x\notin x\}$$ Then we would not obtain a contradiction, but we would have $S\noen Un$. (Prueba deja como ejercicio.)

Answer 3

La manera en que el axioma de selección evitar de Russell paradoja es por le impide seleccionar de todos los conjuntos. Más bien son selección de los elementos de la A. Desde $ A \in A $ está prohibida por el axioma de regularidad no puede surgir la paradoja.