Calcular el % de serie infinita $1-\frac13+\frac15-\frac17+\frac19-\frac1{11}\cdots$

Question

Mi pregunta principal es que en el título, sin embargo yo también preguntaba, en general cuando se trata de una serie infinita, ¿cómo puede usted saber si la serie converge a un valor o no? ¿Y puede decir si va a haber algo extraño acerca de él? Lo que quiero decir es que usted esperaría que la suma de todos los números naturales al ser infinito, sino que es -1/12. ¿Hay una manera de saber si algo como esto va a pasar?

¡Lo siento por la tonelada de preguntas! Y gracias por cualquier respuesta :)

Answer 1

Recordar que \frac{1}{1+x^2}=1-x^2+x^4+\cdots $$ $$ si integran de $0$ $1$ $$\begin{align}\int_0^1\frac{1}{1+x^2} dx& =\int_0^11-x^2+x^4-x^6+\cdots\,dx\\ & =1-\frac13+\frac15-\frac17+\cdots \end {Alinee el} $$ but $$\int_0^1\frac{1}{1+x^2} dx=\arctan 1-\arctan 0 = \frac\pi4, $ $ y $$ $$ 1-\frac13+\frac15-\frac17+\frac19-\cdots=\frac\pi4

Answer 2

Otra forma: % $ $$\arctan x=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1}x^n.$si $|x|<1$. Además $$\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1}$ $ es una serie alterna, entonces convergen. Por Teorema de Abel puede concluir eso %#% $ #%

Answer 3

$$\sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {\frac{{\left( { - 1} \right)^n }}{{2n + 1}}} = \frac{\pi }{4}$$