Una desigualdad de expectativa

Question

Que $X$ y $Y$ ser variables aleatorias de iid y $\mathbb E[|X|]<\infty$, prueban que $$\mathbb E[|X+Y|]\geq\mathbb E[|X-Y|]$ $

Que $F(x)$ denotan la distribución, después del cálculo, es necesario probar $$\int_{-\infty}^{+\infty}x[1-F(x)-F(-x)]F(dx)\geq0$ $ pero me quedé con él. Cualquier ayuda, gracias!

Answer 1

Tomar $G(x)=F(x)+F(-x)$, $F'(x) = f(x)$

$2\int_ {-\infty} ^ {\infty} x (1 F(-x)) - f (x) - f (x) dx = 2\int_0 ^ {\infty} x (1 - f (x) de G(x)) - 2\int_0 ^ {\infty} x (1 - G(-x)) dx f(-x) = 2\int_0 ^ {\infty} x(1-G(x)) (f (x) - f(-x)) = 2\int_0 ^ x(1-G(x) {\infty}) G'() x) DX \\ = \displaystyle - x (1-g (x)) ^ 2\Big | _0 ^ {\infty} + \int_0^{\infty} (1-G(x)) ^ 2 dx = \int_0^{\infty} (1-G(x)) ^ 2 dx \ge 0$

Es fácil demostrar que $x(1 - G(x))^2 \to 0$, cuando $x\to \infty$, con el hecho de la expectativa es finte.