Deje $a_n$ $b_n$ 2 secuencias de $n$ racionales.
Es posible que $\sqrt 7 = \sum_{m=1}^{n} a_m (-1)^{b_m}$ ? Es posible que $\sqrt{17}$ = $\sum_{m=1}^{n} a_m (-1)^{b_m}$ ?
Cómo probar o refutar estas ?
Respuestas
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Deje $\zeta=e^{2\pi i/7}$. Sabemos que la suma $$ 1+\zeta+\zeta^2+\cdots+\zeta^6=0. $$ Vamos $$ S=\zeta+\zeta^2+\zeta^4. $$ Luego elevando al cuadrado obtenemos $$ S^2=\zeta^2+\zeta^4+\zeta^8+2\zeta^3+2\zeta^5+2\zeta^6. $$ Observar que $\zeta^8=\zeta$. Restar la ecuación anterior multiplicado por dos desde el este para llegar $$ S^2=-2-\zeta-\zeta^2-\zeta^4=-2-S. $$ Deje $M=2S+1$. Entonces $$ M^2=4S^2+4S+1=4(-2-S)+4S+1=-7. $$ Por lo tanto,$M=\pm i\sqrt7$, y usted seguramente puede construir una suma del tipo de este.
La receta anterior funciona para todos los números primos $p$ en lugar de $p=7$ siempre y cuando se siga la regla de que los exponentes de la $\zeta$ (aquí se $1,2,4$) son los residuos cuadráticos módulo $p$ (por lo que necesita $(p-1)/2$ términos en la suma de $S$). Si usted consigue $+p$ o $-p$ como el cuadrado depende de la clase residual de $p$ modulo $4$.
Buscar Gauss sumas para más detalles del caso general.
Hurkyl
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Deje $d$ ser un número entero. La extensión de campo $\mathbb{Q}(\sqrt{d}) / \mathbb{Q}$ es un abelian extensión, y por lo tanto es un subextension de un cyclotomic extensión de campo $\mathbb{Q}(\zeta) / \mathbb{Q}$ donde $\zeta$ es una raíz de la unidad. Por lo tanto, $\sqrt{d} \in \mathbb{Q}(\zeta)$, es decir, $\sqrt{d}$ es una función racional de $\zeta$.
Desde $\mathbb{Q}(\zeta)/\mathbb{Q}$ es una extensión algebraica, esto significa que $\sqrt{d}$ es un polinomio en a $\zeta$ con coeficientes racionales, que es fácil de poner en el formulario que usted busca.
De hecho, debido a $\sqrt{d}$ es un entero algebraico, debía de estar en $\mathbb{Z}[\zeta]$, incluso podemos seleccionar el $a_m$ a ser números enteros. De hecho, incluso podemos arreglar para que todo el $a_m$ ser igual a 1, si permitimos que las raíces de la unidad que se repite en la suma.
Simon D
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La raíz cuadrada de cualquier número de $n$, puede ser derivado de la duración de los acordes de un polígono $2n$, e $n$ si $4|n-1$. En consecuencia, ya que los cables pueden ser derivados de cyclotomic raíces de $1$ (es decir, los números de la forma $cis(\pi m/n)$ donde $0<m<2n$, entonces todos los cuadrados, las raíces pueden ser derivadas.
Un enfoque para resolver este tipo de ecuación, es buscar una raíz primitiva. Para $13$, podríamos señalar que $2$ es una raíz primitiva. Luego creamos una potencia de la serie de $2$, modulo $13$. Esto le da una serie de 12 números. Alternamos en estos dos suplentes de la serie, por ejemplo
$$c(n) = cis(2\pi n/13)$$ $$S1 = c(1)+c(4)+c(3)+c(12)+c(9)+c(10)$$ $$S2 = c(2)+c(8)+c(6)+c(11)+c(5)+c(7)$$
Uno puede ver que el subíndice en $S2$ es el doble que la de $S1$, y el subíndice de la siguiente término en $S1$ es cuatro veces mayor que la de la base de plazo. Por lo $3=4*4 mod 13$, etc.
Ahora, el isomorfismo entre el $S1$ $S2$ corresponde a un cambio de signo en una raíz cuadrada. Hay un therom que el producto de los números de $1-c(n)$ $n$ = 1 a p-1, da p (aquí $p=13$), por lo que la raíz cuadrada aquí es que $13 = (6-S1)*(6-S2)$. Esto funciona para todos los números primos.
Cabe señalar que $6-S1$ no es exactamente $\sqrt{13}$, pero algo de lo que implica este primer, como $(13+3 \sqrt{13})/2$ o similar.
