¿$\mathbb{Z}[x]/(x^2+2x+1)$ Es isomorfo a un producto de anillos no trivial?

Question

Como en el título: ¿existe un isomorfismo de $R=\mathbb{Z}[x]/(x^2+2x+1)$ a un no-trivial producto de los anillos? Ya sé que no será un isomorfismo si y sólo si existen no trivial idempotents en $R$. Mis pensamientos han sido hasta ahora:

• tratar de reordenar el generador del ideal de la $x^2+2x+1=0$ a algo de la forma $a^2=a$, encontrando un no-trivial idempotente. Me parece que no puede hacer esto.
• demostrar de alguna manera que ningún elemento puede existir. No estoy del todo seguro de cómo me gustaría ir sobre esto.

Answer 1

Primero observe que $\mathbb{Z}[x]/\left<x^{2}+2x+1\right>\cong\mathbb{Z}[y]/\left<y^{2}\right>$ $x+1\rightarrow y$. Consideremos ahora un elemento general $ay+b\in\mathbb{Z}[y]/\left<y^{2}\right>$. Usted quiere tener

$$\left(ay+b\right)^2=ay+b$$

o

$$2aby+b^2=ay+b$$

que se traduce en

$$2ab=a \:\:\wedge\:\: b^2=b$$

De la segunda ecuación $b=1,0$. Si $b=0$ y $a=0$ y eso es un idempotente trivial no desea. Si $b=1$ y $a=0$ otra vez y obtener la identidad que se vuelve trivial. En este anillo no tienes idempotents no triviales, así como una conclusión no es un producto de anillos no trivial.

Answer 2

He aquí una más general resultado:

Si $R$ es un anillo conmutativo, y $\mathfrak{p}\subset R$ es un alojamiento ideal, entonces para todos $n$, $R/\mathfrak{p}^n$ no puede ser escrito como un no-trivial, producto de los anillos.

Para demostrarlo, la primera nota de la $n=1$ de los casos funciona porque, a continuación, $R/\mathfrak{p}$ es una parte integral de dominio. [A pesar de que la prueba por debajo de obras para este caso, creo que es bueno para llamar a cabo por separado.]

Para el $n>1$ de los casos, supongamos que $R/\mathfrak{p}^n\cong S\times T$. Ahora, cada primer ideal de $S\times T$ parece bien $\mathfrak{s}\times T$ o $S\times\mathfrak{t}$. Desde $\mathfrak{p}/\mathfrak{p}^n$ es el primer en $R/\mathfrak{p}^n$, parece que, dicen, $\mathfrak{s}\times T$. Tenemos \begin{align} 0 &= \left(\mathfrak{p}/\mathfrak{p}^n\right)^n\\ &= (\mathfrak{s}\times T)^n\\ &= \mathfrak{s}^n\times T \end{align} lo que implica $T$ es trivial, y por lo tanto el producto de descomposición fue trivial.