Considerar el residuo grados $f_{K,p_K}= [\mathcal O_K/p_K:\mathbb F_p]$ y $f_{L,p_L}=[\mathcal O_L / p_L:\mathbb F_q]$, $p,q$ racional de los números primos.
Desde $\mathcal O_L/p_L^n$, $\mathcal O_K/p_K^m$ son locales (artinian) anillos con residuos de campos $\mathcal O_L/p_L$, $\mathcal O_K/p_K$ resp.
tenemos que $f_K = f_L$, $p=q$ y $m=n$, por la cardinalidad.
Un ejemplo (espero que no trivial), vamos a $L=\mathbb Q(i)$, $K= \mathbb Q$. A continuación, $p_L=(i+2)$ es un primer ideal de $\mathcal O_L= \mathbb Z[i]$ se encuentra por encima del $p_K=5$. Esto produce isomorphisms para cada $m=n$.
Deje $K$ un campo de número, $\mathfrak p$ un primer (y, por tanto, la máxima) ideal de $\mathcal O_K$ y deje $O_{\mathfrak p}\supseteq \mathbb Z_p$ el valor de la finalización de la $\mathcal O_K$ w.r.t. $\mathfrak p$.
Desde $O_\mathfrak p/\mathfrak p^nO_{\mathfrak p}\simeq \mathcal O_K/\mathfrak p^n$ por cada $n$, los anillos de considerar aparecen de forma natural como cocientes de finito extensiones de $\mathbb Z_p$.
Es entonces claro que el número dos campos pueden tener "la misma" secuencia de anillos cociente $\{O/\mathfrak p^n\}_n$, sólo si sus terminaciones son isomorfos. El anterior es un ejemplo de esta fenomena desde $\mathbb Z[i]_{(i+2)} \simeq \mathbb Z_5$. En particular, si las secuencias de $K$ $L$ son isomorfos, entonces
$$
\begin{cases}
e_{L,p_L} &= e_{K,p_K}\\
f_{L,p_L} &= f_{K,p_K}
\end{casos}
$$
es decir, la ramificación de los índices y los residuos gradoscoinciden.
Aquí $e_{K,p_K}$ es el máximo entero $e$ tal que $p_K^e\mid p\mathcal O_K$, consulte este artículo de la Wikipedia.
El recíproco es cierto si $e_{L,p_L}=1$ locales campo de la clase de teoría.
Relacionado a esto es el caso $L=\mathbb Q(i)$, $K= \mathbb Q(\sqrt 2)$, $p_L=(i+1)$, $p_K= (\sqrt 2)$. Nos encontramos isomorfismo si y sólo si $m=n =1, 2\text{ or }3$. Tal vez es importante remarcar que el isomorfismo en el nivel $n=m=k$ implica isomorfismo en el nivel $n=m=k-1$.
