Pregunta en la prueba acerca de los subgrupos de los grupos cíclicos

Question

Estoy estudiando la prueba del teorema que dice:

Un subgrupo de un grupo cíclico es cíclico

La prueba es como sigue.

Deje $G = \langle g \rangle$ ser un grupo cíclico. Deje $H$ ser un subgrupo de $G$. Para $H = \{e\}$, la instrucción es trivial. Así que supongamos $H \neq \{e\}$ es dejar que $g^k \in H$ $k$ mínimo en $\mathbb{N_0}$ (por lo $k$ es el primer número natural distinto de cero tal que $g^k \in H$). Vamos a demostrar que $H = \langle g^k \rangle$, a partir de la cual el resultado de la siguiente manera. Deje $g^n \in H$. Escribir $n = qk+r$$0 \leq r <k$. A continuación, $g^r = g^{n-qk} = g^n(g^k)^{-q} \in H$, a partir de la cual debe seguir ese $r = 0$ (porque tomamos $k$ mínima y $r < k$). Por lo $g^n \in \langle g^k \rangle$, por lo tanto $H = \langle g^k \rangle$.

Ahora, me pregunto ¿por qué la prueba no funciona si $H = \{e\}$ si no iba a tratar el caso de $H = \{e\}$ por separado.

Yo creo que es porque la prueba fallará si $G$ es generado por un elemento de orden infinito, así que no podemos tomar a $g^k \in H$ $k$ mínimo. Alguien puede comprobar si esto es correcto?

Gracias de antemano.

Answer 1

El punto de tratar el caso de un no-trivial de los subgrupos $H$ por separado es conseguir un no-cero de energía $g^k$ (es decir, $k\neq 0$) del generador de $g$$G$$H$. A continuación, hay un positivo tal poder,$g^k$; es decir, con $k>0$ (desde $g^k\in H$ implica que el $g^{-k}\in H$). Entonces usted puede tomar $k$ a ser el menos poder positivo de las $g$ que pertenece a $H$. Que le permite utilizar el algoritmo de la división para escribir $n=qk+r$, y el resto de la prueba pasa a través de.

Answer 2

No hay una necesidad real para separar el caso de $H=\{e\}$ al $G$ es finito; en este caso, el mínimo de $k>0$ tal que $g^k\in H$$k=|G|$.

Si $G$ es infinita, que de hecho se meten en problemas, debido a que $g^k\ne e$ todos los $k>0$.

Yo creo que se puede apreciar las diferentes pruebas. Considerar el mapa $$ \varphi_g\colon\mathbb{Z}\to G \qquad \varphi_g(n)=g^n $$ Desde $G=\langle g\rangle$, esta es una surjective homomorphism. Por lo tanto, los subgrupos de $G$ están en bijection con los subgrupos $K$ $\mathbb{Z}$ contiene $\ker\varphi_g$ y el bijection envía $K$$\varphi_g(K)$.

Ya que cada subgrupo de $\mathbb{Z}$ es de la forma $k\mathbb{Z}$ y es cíclica, hemos terminado.

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El argumento con el algoritmo de la división es el paso clave en la comprobación de que los subgrupos de $\mathbb{Z}$ son de la forma $k\mathbb{Z}$: la afirmación es obvia para $K=\{0\}$. Si $K\ne\{0\}$, a continuación, contiene un elemento positivo, por lo tanto, un mínimo elemento positivo $k$. Ahora es fácil ver que $K=k\mathbb{Z}$.