Polígonos con forma de estrella

Question

Llamamos a un polígono con forma de estrella si existe al menos un punto desde el cual se puede ver todo el polígono. El conjunto de estos puntos lo llamamos núcleo del polígono.

El teorema de la galería de arte establece que $\left\lfloor\frac{n}{3}\right\rfloor$ puntos son suficientes (y a veces necesarios) para cubrir un $n$-gono y en particular esto muestra que los polígonos para los cuales $n\le 5$ son necesariamente con forma de estrella. Sin embargo, el punto que el teorema de la galería de arte selecciona siempre es un vértice del polígono. Estoy interesado en los puntos del interior del polígono.

La pregunta principal que tengo es: Dado un $n$-gono para $n\le5$, sabemos que el $n$-gono cerrado es con forma de estrella. ¿El $n$-gono abierto también es necesariamente con forma de estrella? En otras palabras, ¿la intersección del núcleo con el interior es no vacía?

De manera intuitiva, esto debería ser posible simplemente tomando un punto "suficientemente cerca" del vértice que supervisa el polígono, pero estoy teniendo dificultades para encontrar una demostración rigurosa.

También hay que tener en cuenta que esto no es cierto para $n\ge 5$. Por ejemplo, el siguiente hexágono tiene forma de estrella desde el vértice rojo, pero el hexágono abierto no tiene forma de estrella.

                                                       

Como un desprendimiento de lo anterior, también me gustaría saber si esto puede generalizarse en el teorema de la galería de arte: ¿Son suficientes $\left\lfloor \frac{n}{3}\right\rfloor$ puntos en el interior del polígono para cubrirlo?

Answer 1

Para todo polígono con a lo sumo 5 lados hay una triangulación donde todas las diagonales se encuentran en un único punto $v$. Este punto es un centro de visibilidad, ya que cada triángulo puede ser visto desde él.

En esta triangulación, cada triángulo tiene área positiva. Por lo tanto, podemos perturbar $v$ en cualquier dirección de manera que todavía tengamos una triangulación. Si perturbamos hacia el polígono, entonces el nuevo punto está dentro del núcleo de visibilidad.

Podemos discutir esto de inmediato para el caso general de un polígono de $n$ lados. Además, el enfoque clásico se realiza a través de un argumento de triangulación. Aquí, cada guardia es responsable de un área formada por un "abanico" de triángulos. Nuevamente podemos perturbar la triangulación y agregar el punto perturbado. Luego añadimos 2 nuevos triángulos a la triangulación perturbada y observamos que el punto perturbado puede ver todo el "abanico". Esto no es muy formal, pero la idea debería quedar clara.