Raíces de la ecuación $x^n\left(2-x\right)^{2}=a$ ?

Question

Necesito encontrar analíticamente las raíces de la siguiente ecuación polinómica:

$$x^n\left(2-x\right)^{2}=a$$

para un número entero arbitrario $n$ y un parámetro real arbitrario $a$ . El único truco que se me ocurre es en el caso especial de que $a\geq0$ y $n=2m$ (es decir $n$ incluso). En este caso, la ecuación puede descomponerse en dos ecuaciones más simples y de menor dimensión:

$$x^{m}\left(2-x\right)-\sqrt{a}=0$$ $$x^{m}\left(2-x\right)+\sqrt{a}=0$$

pero entonces no sé cómo proceder (estaba pensando que tal vez mediante algún cambio de coordenadas es posible transformar estas nuevas ecuaciones en ecuaciones trinómicas de la forma $x^n-x+t=0$ cuya solución es conocida, ver aquí ). También me gustaría encontrar las raíces de cualquier $n$ y $a$ . No se requieren soluciones de forma cerrada: Apreciaría también una solución escrita, por ejemplo, como una expansión en serie.

Muchas gracias de antemano.

P.D.: No sé si puede ayudar, pero en mi caso $x\in[-1,1]$ para que puedas escribir $x=\cos y$ para $y\in [0,\pi]$ .

Answer 1

Lo primero que puedes hacer es estudiar el caso trivial $a=0$ que da : $$x^n(2-x)^2=0$$ Las raíces son obviamente $x=0$ con orden $n$ y $x=2$ con orden $2$ . Puedes intentar resolver otros casos para esbozar la forma general de la solución si es que existe.

También puede probar algunos valores particulares de $n$ :

Para $n=0$ tienes..:

$$x=2\pm\sqrt{a}$$

Que es una orden $2$ raíz.

Para $n=1$ Lo he intentado con Wolfram Alpha, que sólo proporciona una fea solución, que tiene que ser de orden $3$

Para $n=2$ tienes..: $$x^2(2-x)^2=a$$ $$x(2-x)=2x-x^2=\pm\sqrt{a}$$ Por lo tanto, las soluciones son : $$x=1\pm\sqrt{1\pm\sqrt{a}}$$ En función de $a$ puede tener hasta cuatro soluciones diferentes con orden $1$ cada uno.

Parece complicado encontrar una expresión general ya que se pueden tener diferentes números/órdenes de soluciones dependiendo de la elección de $(a,n)$

Answer 2

Véase el siguiente enlace (teorema 2) https://www.researchgate.net/publication/262973394_Solution_of_Polynomial_Equations_with_Nested_Radicals

Resuelve :

$$Aqx^{p}+x^{q}=1$$

Su ecuación es :

$$2x^m-x^{m+1}-\sqrt{a}=0$$ Si haces la siguiente sustitución :

$x=y\beta$

Tenemos :

$$2\beta^{m}y^m-\beta^{m+1}y^{m+1}-\sqrt{a}=0$$

Así que divide por $-\beta^{m+1}$ que tienes:

$$\frac{-2}{\beta}y^m+y^{m+1}+\frac{\sqrt{a}}{\beta^{m+1}}=0$$

Y hacer las últimas sustituciones :

$$\beta^{1}=\frac{1}{m+1}$$ y $$\sqrt{a}=\beta^{m+1}$$

Finalmente obtenemos :

$$(-2)(m+1)y^m+y^{m+1}+1=0$$ Así que se puede aplicar el teorema 2 con $A=-2$ y $q=m+1$ Otra forma es utilizar el teorema 1 con $b=0$ pero obtenemos un radical anidado... Ps:

Es una solución parcial porque hay algunas condiciones en $\sqrt{a}$ ... Si quiere otros detalles, vea esto Resolución de ecuaciones de 5º grado o superiores

Answer 3

El Excel puede proporcionar algunas intuiciones. Aquí están los gráficos de $x^n(2-x)^n$ en $[-1,1]$ para $n=6$ y $n=7$ .

Se puede ver el rango en cada caso, y probarlo (para $n$ impar y $n$ incluso). Para large(r) $n$ que estos valores modestos la forma sigue siendo la misma, por lo que para valores de $a$ (no muy cerca de $0$ ) tendrás una o dos soluciones. Esas soluciones se acercan a $\pm 1$ como $n$ crece. El método de Newton debería funcionar bien.