Equilibrio de una torre de 2-d bloques

Question

En la imagen de abajo,

• Todos los bloques son sin fricción y con idéntico lado de la unidad de longitud, altura,$h$, en peso $w$ & centro de gravedad en sus geométrico de los centros.
• Los 2 más bajos de los bloques de tierra firme.
• La distancia desde la esquina de cada bloque con el punto medio del lado inferior de la caja de arriba es dado (es decir,$a1,a2,b1,b2$).
• las fuerzas de $F_{ac}$ $F_{bc}$ son la resultante de las fuerzas de reacción ejercidas por bloques $A$ & $B$ en $C$.

Estoy interesado en el comportamiento de estos bloques inmediatamente después de establecer en esta configuración y la liberación de ellos, o más específicamente: ¿Para qué relación entre $a1,a2,b1$ & $b2$:

• do $A,B$ $C$ mover?- caso 1
• hacer sólo $A$ $C$ mover?- caso 2
• hacer sólo $B$ $C$ mover?- caso 3
• es la configuración estable (no cambia en absoluto, una vez establecido bajo esta condición y, a continuación, a la izquierda).? - caso 4

Para los interesados, aquí está mi enfoque y lo que (creo que) ya sé:

En un intento de encontrar las condiciones de limitación (la frontera entre el equilibrio y no equilibrio), supuse que inicialmente $C$ tiende a estar en equilibrio.(No tengo rigurosa justificación de este supuesto, sólo una corazonada de que "esto no es donde el problema es").Bajo esta condición, $F_{ac}$ & $F_{bc}$ puede ser calculado, y los momentos debido a sus "iguales y opuestos" ($F_{ca}$ & $F_{cb}$) acerca de $P1$ $P2$ puede ser obtenida como: $$M_{ca}(x,y)=w(.5+a1-a2-x)/(x/y+1)$$ $$M_{cb}(y,x)=w(.5+b1-b2-y)/(y/x+1)$$ where $x$ & $s$ are the perpendicular distances of the respective forces from the center of $C$.

Con algunas ad-hoc y tembloroso lógica aquí es lo que me llegó:

• cuando $$w\cdot a_2 <M_{ca}(.5,.5)\quad \& \quad w\cdot b_2 <M_{cb}(.5,.5)$$ case-1 occurs with $Un$ & $B$ touching $C$ sólo a través de sus vértices.

• cuando $$w\cdot a_2 =M_{ca}(x1,.5)\quad \& \quad w\cdot b_2 <M_{cb}(.5,x1)$$ where $a1\leqslant x1< .5$ case-1 occurs with $C$ rotating with $$maintaining a surface of contact with$$ but only a point contact with $B$, but if $$\boldsymbol{w\cdot a_2 =M_{ca}(x1,.5)\quad \& \quad w\cdot b_2 \geqslant M_{cb}(.5,x1)}$$ la configuración es estable (caso 4).

• cuando $$w\cdot a_2 >M_{ca}(a1,.5)\quad \& \quad w\cdot b_2 <M_{cb}(.5,a1)$$ case-3 occurs, but if $$\boldsymbol{w\cdot a_2 >M_{ca}(a1,.5)\quad \& \quad w\cdot b_2 <M_{cb}(.5,a1)}$$ la configuración es estable (caso 4).

• Las anteriores condiciones con $a$ & $b$ intercambiaron junto con sus correspondientes variables.

Pero no tengo manera de comprobar esto o proporcionar una satisfactoria argumento para estas condiciones, especialmente las partes por escrito en negrita (he llegado a ella por poner varias combinaciones de argumentos para $M_{ca}$ & $M_{cb}$ & pensando en qué iba a suceder en cada caso). Es este conjunto de condiciones de la derecha?. ¿Cuál sería un buen enfoque con una progresión lógica de pasos para solucionarlo?

Answer 1

Revisado Respuesta

Los bloques a, B y C son idénticos, de manera que los casos 2 y 3 son el mismo. En el caso 1 los bloques a y B giran alrededor de P1 y P2, al mismo tiempo, mientras que C es apoyado igualmente en P5 y P3. En el caso 2 (como se muestra en el diagrama de arriba) bloque C se convierte acerca de P4, mientras que también tocar en P5. Supongo caso 4 significa que no hay bloques se mueven, así que esto es lo mismo que decir que en ninguno de los casos 1 o 2 se aplica.

En el caso 1, si los 2 bloques en la base no son más aparte de $1+2h$ donde $h$ es la altura de cada bloque - es decir, si $(a1+b1)-(a2+b2) < 2h$ - a continuación, bloque C, no caerán a la tierra. Asimismo, en caso de que 2 de los bloques a y C puede bloquearse cuando la cara del extremo de C es plana contra la cara superior de A. Estas complicaciones agregar restricciones adicionales si "inestable" significa que el bloque C llega al suelo. Por simplicidad, se supone que "inestable" significa que los bloques se mueven de la posición inicial a algunos de los diferentes configuaration.

Su enfoque es correcto, pero usted necesita para completar. Eliminar $w$ de su desigualdades sustituyendo a $M$, asignar $x$ $y$ sus valores extremos como en el párrafo 1, y se reorganizan para obtener las desigualdades relativas sólo $a1$, $a2$, $b1$ y $b2$.

Creo que su preocupación es que no hay suficientes ecuaciones para habilitar al usuario a encontrar la limitación de los valores de cada una de las 4 variables de forma independiente. Esto es inevitable, porque no hay suficientes restricciones en el problema. Cada una de las 4 variables se pueden ajustar de forma independiente, mientras que hay sólo 2 de las desigualdades para cada modo (caso) de tumbar, derivadas de la de equilibrio de momentos en P1 y P2.

Para el caso 1 los coeficientes de $r_a=\frac{a1}{a2}$ $r_b=\frac{b1}{b2}$ debe ser inferior a la misma constante entero.

Para el caso 2 los coeficientes de $r_a$ $r_b$ debe ser inferior a un valor crítico que depende de la $b1$ solo, un diferente valor crítico de cada uno.

La pregunta final es cómo se representan las condiciones de estabilidad. Esto puede hacerse ya sea en un gráfico 3D de $(r_a,r_b,b1)$, o en gráficos 2D de $(r_a,r_b)$ para los valores seleccionados de $b1$, que puede variar de $0$ $\frac12$o gráficos 2D de $(r_a,b1)$$(r_b,b1)$. Los límites son proporcionados por las anteriores desigualdades. La estable de la región se encuentra entre los límites y el origen.

Answer 2

No una respuesta

Esto es muy interesante problema, pero creo que encontrar las configuraciones donde el "de nuevo" punto de contacto ascensor no es suficiente para la inestabilidad. Por ejemplo, la configuración a continuación es estable:

Esto es debido a que el bloque medio, a la derecha está "pinchado" por el resto de los bloques y la fricción puede que la sostenga. Hay una razón por la que estás mirando sin fricción? Creo que esto es demasiado de una simplificación sin fricción.

Usted también tiene que considerar que el pequeño ángulo de rotaciones de cambiar el problema considerablemente. De nuevo, en la situación anterior, si la parte superior del bloque no lo está empujando hacia abajo en el medio del bloque de la derecha, a continuación, se va a caer. Pero, si el bloque superior tiene un pequeño ángulo y se pondrá en contacto usted puede terminar para arriba en un escenario estable.