si $AB\neq 0$ para cualquier matriz no nula $B$ entonces $A$ es invertible

Question

La pregunta es para comprobar que :

Si $A$ es un $n\times n$ matriz sobre un campo $F$ y $AB\neq 0$ para cualquier matriz no nula $B_{n\times n}$ en $F$ entonces, $A$ es invertible.

Esto tiene algún sentido para mí, pero no estoy seguro de cómo probarlo.

Como $AB\neq 0$ para cualquier $B$ En particular, tenemos $A.A\neq 0$ es decir, $A^2\neq 0$

por razones similares vemos que $A^n\neq 0$ para cualquier número entero positivo $n$

Así que, $A$ no es nilpotente... Veo que esto es sólo nilpotente...

Estoy atascado para demostrar que $A$ es invertible.

Tengo algunas ideas entre medias, pero nada me permite concluir de forma sencilla el resultado final.

por favor, ayúdame a ver esto dando algunas pistas (estoy seguro de que debe ser muy fácil)

Gracias

Answer 1

Otra prueba más. Consideremos el mapa lineal $L_A : M_n(F)\to M_n(F)$ definido por $$\forall B\in M_n(F)\;:\; L_A(B)=AB\, .$$ Esta suposición significa que $\ker (L_A)=\{ 0\}$ es decir $L_A$ es 1-1. Como $M_n(F)$ es de dimensión finita, se deduce que $L_A$ es invertible. En particular, se puede encontrar $B\in M_n(F)$ tal que $AB=Id$ Así que $A$ es invertible.

Answer 2

Recuerda que $A$ no es invertible si la ecuación $Ax=0$ tiene soluciones no triviales. ¿Puedes ahora construir una solución no nula $B$ con $BA=0$ ?

Answer 3

Supongamos que $A$ no es invertible. De ello se desprende que $(0,v)$ es un par propio de $A$ para un número no nulo de $n\times 1$ vector $v$ Es decir, $Av=0_{n\times 1}$ . Consideremos ahora la matriz $B$ cuyas columnas son todas iguales a $v$ .

Answer 4

Supongamos que $A=(a_{ij})_{n \times n}$ no es invertible. Entonces los vectores $A_{i}=(a_{i1}, \cdots, a_{in})(1 \le i \le n)$ no son linealmente independientes. Esto significa que hay un $k$ -espacio vectorial de dimensiones $L$ con $k<n$ de manera que todos los $A_i (1 \le i \le n)$ están en $L$ . Dejemos que $b=(b_1,b_2, \cdots, b_n)$ sea un vector no nulo y ortogonal a $L$ . Consideremos la matriz $B$ cuyas columnas coinciden con $b$ . Entonces $A \times B=0$ y obtenemos una contradicción.